Vị trí Tương Đối của Mặt Cầu và Mặt Phẳng: Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng là một chủ đề quan trọng trong chương trình hình học lớp 12, đóng vai trò nền tảng cho việc học các dạng toán hình học không gian. Kiến thức này giúp học sinh hiểu được cách mặt phẳng cắt, tiếp xúc hoặc không giao với mặt cầu, ứng dụng nhiều trong giải bài tập thực tế và các kỳ thi quan trọng như THPT Quốc gia.

2. Định nghĩa chính xác về vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu$S$tâm$I(a, b, c)$bán kính$R$và mặt phẳng$(P): Ax + By + Cz + D = 0$. Khoảng cách từ tâm$I$ đến mặt phẳng$(P)$ được tính theo công thức:

$d = \frac{|Aa + Bb + Cc + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Từ đây, ta xét các trường hợp về vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng:

• - Nếu$d > R$: Mặt phẳng không cắt mặt cầu (không giao nhau).
• - Nếu$d = R$: Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (mặt phẳng tiếp xúc, chỉ tiếp xúc tại một điểm duy nhất).
• - Nếu$d < R$: Mặt phẳng cắt mặt cầu (giao nhau tại một đường tròn).

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét mặt cầu$S: (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = 9$và mặt phẳng$(P): x + y + z - 6 = 0$.

- Tâm mặt cầu$I(1,2,3)$, bán kính$R = 3$.

- Khoảng cách từ $I$ đến$(P)$là:

$d = \frac{|1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 - 6|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|1 + 2 + 3 - 6|}{\sqrt{3}} = \frac{0}{\sqrt{3}} = 0$

Vì $d = 0 < R$nên mặt phẳng đi qua tâm cầu, cắt mặt cầu thành đường tròn lớn.

Ví dụ 2:$S: (x+2)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=16$,$(P): 2x - y +z +2=0$.

- Tâm$I(-2,1,2)$,$R=4$.

$d = \frac{|2 \cdot (-2) - 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 2|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}} = \frac{|-4-1+2+2|}{\sqrt{4+1+1}} = \frac{|-1|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}} \approx 0,408 < 4$

Vậy mặt phẳng cắt mặt cầu (giao nhau theo một đường tròn).

Ví dụ 3: Với$d > R$.
$S: (x-2)^2 + (y+1)^2 + (z-4)^2 = 1$,$(P): x + y + z +1=0$

- Tâm$I(2,-1,4)$,$R=1$

$d = \frac{|2+(-1)+4+1|}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3} \approx 3,464 > 1$

Vậy mặt phẳng không cắt mặt cầu.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• - Khi$d=0$, mặt phẳng đi qua tâm mặt cầu (trường hợp đặc biệt của$d<R$). Đường tròn giao tuyến có bán kính lớn nhất:$r=R$.
• - Khi$d=R$, mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại điểm$M$duy nhất. Khi đó,$IM\perp (P)$,$IM=R$.
• - Đường tròn giao tuyến (khi $d<R$) có bán kính $r=\sqrt{R^2 - d^2}$.
• - Nếu mặt phẳng và mặt cầu không cắt nhau ($d>R$), mọi điểm trên mặt phẳng đều nằm ngoài mặt cầu.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng liên quan chặt chẽ với kiến thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, phương trình mặt cầu, mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu. Việc xác định đường tròn giao tuyến cũng liên quan tới chủ đề phương trình đường tròn không gian.

Khi học các bài tập liên quan đến tiếp tuyến, tiếp điểm, hay bài toán đo thể tích phần không gian bị cắt bởi mặt phẳng, việc nắm vững vị trí tương đối giúp giải toán chính xác và nhanh chóng.

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho mặt cầu$S: (x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 = 25$, mặt phẳng$(P): 2x - y + 2z - 4 = 0$. Tìm vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng.

Giải:

Tâm $I(1,-2,3)$, bán kính $R=5$.
$d = \frac{|2 \cdot 1 -1 \cdot (-2) +2 \cdot 3-4|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}} = \frac{|2+2+6-4|}{\sqrt{4+1+4}} = \frac{6}{3}=2$
$2<5$ nên mặt phẳng cắt mặt cầu.

Bán kính đường tròn giao tuyến:
$r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{25 - 4} = \sqrt{21}$

Bài tập 2: Cho mặt cầu$S: (x+1)^2 + (y-1)^2 + (z-2)^2 = 9$, mặt phẳng$(P): x + y + z + 7 = 0$.

Tâm $I(-1,1,2)$, $R=3$.
$d = \frac{|-1+1+2+7|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \approx 5.196 > 3$
$o$ Mặt phẳng không cắt mặt cầu.

Bài tập 3: Cho mặt cầu$S: (x-3)^2 + (y+2)^2 + (z-1)^2 = 49$, mặt phẳng$(P): x - 2y +2z=0$. Tìm tọa độ và bán kính đường tròn giao tuyến.

- Tâm $I(3,-2,1)$, $R=7$.
- $d = \frac{|3 - 2 \cdot (-2) + 2 \cdot 1|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|3 + 4 + 2|}{3}=\frac{9}{3}=3$
- $d=3<7 \Rightarrow$ mặt phẳng cắt mặt cầu.
- Bán kính đường tròn:
$r = \sqrt{49 - 9} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$
- Tọa độ tâm đường tròn giao tuyến là hình chiếu vuông góc của $I$lên mặt phẳng$(P)$:

Phương trình đường thẳng vuông góc$(P)$qua$I$:
$\frac{x-3}{1} = \frac{y+2}{-2} = \frac{z-1}{2} = t$
Điểm$H$là giao điểm với$(P): x-2y+2z=0$

- Đặt$x=3+t, y=-2-2t, z=1+2t$. Thay vào$(P)$:
$(3+t) - 2(-2-2t) + 2(1+2t) = 0$
$3 + t + 4 + 4t + 2 + 4t = 0$
$9 + 9t = 0 \Rightarrow t = -1$

- Vậy hình chiếu$H(2,0,-1)$là tâm đường tròn giao tuyến.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• - Không xác định đúng tâm và bán kính mặt cầu (cẩn thận với dấu trong phương trình).
• - Tính sai khoảng cách do nhập sai thông số hoặc nhầm dấu âm/dương.
• - Không bình phương đúng hệ số khi tính mẫu số trong công thức khoảng cách.
• - Quên kiểm tra điều kiện$d, R$ để xác định đúng vị trí tương đối.

8. Tóm tắt và những điểm chính cần nhớ

- Xác định đúng tâm $I(a, b, c)$, bán kính $R$của mặt cầu từ phương trình cho trước.
- Sử dụng đúng công thức khoảng cách từ $I$ đến$(P)$.
- So sánh $d$và $R$ để xác định vị trí tương đối:
•$d > R$: không giao nhau
• $d = R$: tiếp xúc
• $d < R$: cắt nhau (giao tuyến là đường tròn bán kính $r=\sqrt{R^2-d^2}$)
- Luôn kiểm tra lại kết quả, chú ý đổi dấu khi thay giá trị.

Nắm chắc các bước trên sẽ giúp các bạn tự tin giải thành thạo mọi bài toán về vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng trong đề thi THPT Quốc gia cũng như thực tiễn.