Blog

Viết Phương Trình Mặt Cầu Từ Tâm và Bán Kính: Giải Thích Chi Tiết Cho Học Sinh Lớp 12

T
Tác giả
5 phút đọc
Chia sẻ:
5 phút đọc

1. Giới Thiệu Chung Về Phương Trình Mặt Cầu

Trong chương trình hình học không gian lớp 12, việc hiểu và vận dụng phương trình mặt cầu là kiến thức cơ bản nhưng vô cùng quan trọng. Mặt cầu là hình dạng quen thuộc xuất hiện nhiều trong các bài tập không gian, lý thuyết cũng như thực tế. Nắm vững cách viết phương trình mặt cầu từ tâm và bán kính giúp học sinh dễ dàng giải quyết các dạng bài liên quan đến hình cầu, mặt tròn xoay, hay thậm chí các bài toán thực tiễn về hình học không gian.

2. Định Nghĩa: Phương Trình Mặt Cầu Từ Tâm Và Bán Kính

• Định nghĩa mặt cầu: Cho điểmI(x0,y0,z0)I(x_0, y_0, z_0)là tâm và R>0R > 0là bán kính. Tập hợp tất cả các điểmM(x,y,z)M(x, y, z)trong không gian sao cho khoảng cách từ MM đếnIIbằngRRgọi là mặt cầu tâmII, bán kínhRR.
• Phương trình của mặt cầu tâmI(x0,y0,z0)I(x_0, y_0, z_0), bán kínhRRlà:

(xx0)2+(yy0)2+(zz0)2=R2(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2

Đây chính là công thức quan trọng nhất bạn cần nhớ khi làm việc với mặt cầu trong không gian Oxyz.

3. Giải Thích Từng Bước Qua Ví Dụ Minh Họa

  • Bước 1: Xác định tọa độ tâmI(x0,y0,z0)I(x_0, y_0, z_0)và bán kínhRRcủa mặt cầu.
  • Bước 2: Áp dụng công thức phương trình mặt cầu:(xx0)2+(yy0)2+(zz0)2=R2(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2.
  • Bước 3: Thay số vào, khai triển hoặc rút gọn nếu đề yêu cầu.

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu tâmI(2,1,5)I(2, -1, 5)và bán kínhR=3R = 3.
Giải:
Áp dụng công thức:
(x2)2+(y+1)2+(z5)2=9(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 5)^2 = 9

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu tâmI(0,0,0)I(0,0,0), bán kính55.
Giải:
x2+y2+z2=25x^2 + y^2 + z^2 = 25

4. Các Trường Hợp Đặc Biệt và Lưu Ý Khi Áp Dụng

  • Nếu tâm trùng gốc tọa độ O(0,0,0)O(0,0,0), phương trình mặt cầu là x2+y2+z2=R2x^2 + y^2 + z^2 = R^2.
  • Nếu mặt cầu đi qua một điểm M(x1,y1,z1)M(x_1,y_1,z_1)và biết tâmI(x0,y0,z0)I(x_0, y_0, z_0)thì
    R=extdistance(I,M)=(x1x0)2+(y1y0)2+(z1z0)2R = ext{distance}(I, M) = \\ \sqrt{(x_1-x_0)^2 + (y_1-y_0)^2 + (z_1-z_0)^2}
    .
  • Nếu đề yêu cầu đưa phương trình về dạng khai triển:x2+y2+z2+ax+by+cz+d=0x^2 + y^2 + z^2 + a x + b y + c z + d = 0, học sinh chỉ cần khai triển(xx0)2+(yy0)2+(zz0)2=R2(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = R^2.

Lưu ý: Luôn kiểm tra rằng bán kínhRR> 0 và tâm đã xác định rõ ràng.

5. Mối Liên Hệ Giữa Mặt Cầu Và Các Khái Niệm Khác

• Mặt cầu là trường hợp đặc biệt của mặt tròn xoay.
• So sánh với phương trình mặt phẳng, đường thẳng: Nếu mặt phẳng là tập hợp các điểm thỏa mãn phương trình bậc nhất thì mặt cầu là bậc hai.
• Trong đề thi, mặt cầu có thể liên quan tới các chủ đề như giao tuyến mặt cầu với mặt phẳng, hình nón, hình trụ, hình tròn.

6. Bài Tập Mẫu Có Lời Giải Chi Tiết

Bài tập 1: Viết phương trình mặt cầu tâmI(1,2,3)I(1, 2, -3)bán kínhR=4R = 4.
Giải:
Áp dụng công thức, ta có:
(x1)2+(y2)2+(z+3)2=16(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z+3)^2 = 16

Bài tập 2: Viết phương trình mặt cầu đi qua điểm A(1,2,3)A(1,2,3), biết tâm I(1,0,1)I(-1,0,1).
Giải:
Tính bán kính:

R=(1+1)2+(20)2+(31)2=4+4+4=23<br/>Vyphươngtrıˋnhmtca^ˋulaˋ:<br/>R = \\ \sqrt{(1+1)^2 + (2-0)^2 + (3-1)^2} = \\ \sqrt{4 + 4 + 4} = 2\sqrt{3} <br />Vậy phương trình mặt cầu là: <br />
(x+1)^2 + y^2 + (z-1)^2 = 12$

Bài tập 3: Viết phương trình mặt cầu tâm I(0,2,1)I(0,-2,1), biết mặt cầu đi qua điểm B(1,0,2)B(-1,0,2).
Giải:

R=(10)2+(0+2)2+(21)2=1+4+1=6<br/>Vyphươngtrıˋnhmtca^ˋulaˋ:<br/>R = \\ \sqrt{(-1-0)^2 + (0+2)^2 + (2-1)^2} = \\ \sqrt{1 + 4 + 1} = \\ \sqrt{6} <br />Vậy phương trình mặt cầu là: <br />
x^2 + (y+2)^2 + (z-1)^2 = 6$

7. Các Lỗi Thường Gặp Và Cách Tránh

  • Nhầm lẫn toán tử "-" khi thay tọa độ tâm: nhớ đúng(xx0)(x - x_0),(yy0)(y - y_0),(zz0)(z - z_0). Nếux0x_0 âm,(x(2))=(x+2)(x - (-2)) = (x+2).
  • Tính sai bán kính - hãy dùng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian chính xác.
  • Viết nhầm sang dạng phương trình mặt phẳng, đường tròn còn thiếu biếnzz.
  • Khai triển sai biểu thức, đặc biệt khi được yêu cầu đưa về dạng tổng quát.
  • Không để ý điều kiệnR>0R>0hoặc tâm không hợp lý khi đề bài cho tham số.

8. Tóm Tắt Kiến Thức Và Các Điểm Chính Cần Nhớ

  • Phương trình mặt cầu tâmI(x0,y0,z0)I(x_0, y_0, z_0)bán kínhRR:(xx0)2+(yy0)2+(zz0)2=R2(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = R^2
  • Bán kínhRRcó thể tính bằng khoảng cách giữa tâm với một điểm thuộc mặt cầu.
  • Chú ý thay ký hiệu dấu đúng khi tâm có tọa độ âm.
  • Khai triển đúng phương trình nếu bài yêu cầu đưa về dạng tổng quát, chuẩn xác.

Hy vọng qua bài viết này, các em học sinh lớp 12 đã nắm chắc cách viết phương trình mặt cầu từ tâm và bán kính, cũng như hiểu sâu sắc ý nghĩa hình học của nó, giúp giải quyết tốt các bài toán trong chương trình THPT và ôn luyện cho các kỳ thi quan trọng.

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".