Blog

Viết phương trình mặt cầu từ tâm và bán kính: Khái niệm, Cách giải, Bài tập mẫu lớp 12

T
Tác giả
5 phút đọc
Chia sẻ:
5 phút đọc

1. Giới thiệu về viết phương trình mặt cầu từ tâm và bán kính

Trong chương trình Toán lớp 12, hình học không gian đóng vai trò rất quan trọng giúp học sinh hiểu sâu về các đối tượng hình học ba chiều. Một trong những khái niệm nền tảng chính là mặt cầu và phương trình mặt cầu. Việc biết cách viết phương trình mặt cầu từ tâm và bán kính là kỹ năng thiết yếu, không chỉ giúp giải các bài toán hình học mà còn mở rộng hướng đến giải quyết các bài toán thực tế, các đề thi THPT Quốc gia, và nhiều lĩnh vực ứng dụng khác.

2. Định nghĩa và công thức phương trình mặt cầu

Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian có khoảng cách không đổi (bán kính) tới một điểm cố định gọi là tâm.

Định nghĩa: Cho điểmI(a,b,c)I(a, b, c)là tâm,R>0R > 0là bán kính. Phương trình mặt cầu(S)(S)tâmII, bán kínhRRlà:


(xa)(x - a)^2 +(yb)(y - b)^2 +(zc)(z - c)^2 = R^2

Phương trình này mô tả tất cả các điểmM(x,y,z)M(x, y, z)cáchI(a,b,c)I(a, b, c)một khoảng đúngRR.

3. Hướng dẫn từng bước viết phương trình mặt cầu

Để viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính, thực hiện các bước sau:

  1. Bước 1: Xác định tọa độ tâmI(a,b,c)I(a, b, c). Đọc kỹ đề bài để ghi đúng thông tin.
  2. Bước 2: Xác định bán kínhRR(lưu ý R>0R > 0). Đôi khi đề bài choRRdưới dạng số thực, căn số, hoặc qua một đoạn thẳng.
  3. Bước 3: Thay trực tiếpaa,bb,cc,RRvào công thức tổng quát:(xa)2+(yb)2+(zc)2=R2(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2

4. Ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu có tâmI(2,1,3)I(2, -1, 3)và bán kínhR=5R = 5.

- Ta có:a=2a = 2,b=1b = -1,c=3c = 3,R=5R = 5
- Phương trình mặt cầu là:


(x2)(x - 2)^2 +(y+1)(y + 1)^2 +(z3)(z - 3)^2 = 25

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu tâmI(0,0,0)I(0,0,0), bán kínhR=2sqrt3R = 2sqrt 3.

Phương trình mặt cầu:


x^2 + y^2 + z^2 = 12

5. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý quan trọng

  • Nếu tâm trùng với gốc tọa độ O(0,0,0)O(0,0,0): phương trình rút gọn thànhx2+y2+z2=R2x^2 + y^2 + z^2 = R^2.
  • Nếu bán kính là số âm hoặc bằng 0: Không tồn tại mặt cầu thực.
  • Nếu đề bài không cho trực tiếp bán kính mà cho qua hai điểm: Dùng công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm.

Lưu ý: Trong không gian, mọi mặt cầu đều có phương trình dạng trên; không có nhiễu biến khác như các hình học phẳng.

6. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

  • Khoảng cách giữa hai điểm: Công thức mặt cầu liên hệ trực tiếp với khoảng cách không gian.
  • Đường tròn: Khi mặt cầu cắt với mặt phẳng, ta thu được phương trình đường tròn.
  • Khối cầu: Tính thể tích, diện tích liên quan đến bán kính.

7. Bài tập mẫu có lời giải

Bài tập 1: Viết phương trình mặt cầu tâmI(1,2,3)I(1,2,-3), bán kínhR=4R = 4.

Giải:
- Ta có a=1a = 1,b=2b = 2,c=3c = -3,R=4R = 4
- Phương trình mặt cầu tìm được:

(x1)(x - 1)^2 +(y2)(y - 2)^2 +(z+3)(z + 3)^2 = 16

Bài tập 2: Viết phương trình mặt cầu đi qua 2 điểmA(1,1,1)A(1,1,1),B(4,5,6)B(4,5,6)và tâmI(1,1,1)I(1,1,1).

Giải:
- Tâm I(1,1,1)I(1,1,1), bán kính chính là R=IA=IBR = IA = IB.
- Tính R=IA=(41)2+(51)2+(61)2=32+42+52=9+16+25=50R = IA = \sqrt{(4-1)^2 + (5-1)^2 + (6-1)^2} = \sqrt{3^2+4^2+5^2} = \sqrt{9+16+25} = \sqrt{50}
- Phương trình mặt cầu:

(x1)(x-1)^2 +(y1)(y-1)^2 +(z1)(z-1)^2 = 50

8. Những lỗi thường gặp và cách tránh

  • Nhập sai dấu khi thay tọa độ tâm (đặc biệt là dấu âm).
  • Quên bình phương bán kính (ghiRRthay vì R2R^2).
  • Không kiểm tra kỹ đơn vị và dạng dữ liệu của bán kính.
  • Nhầm lẫn giữa tọa độ tâm và vị trí điểm khác.

Cách tránh: Luôn ghi lại công thức chuẩn, kiểm tra lại phép tính, đặc biệt là với căn số và số âm.

9. Tóm tắt – Các điểm chính cần ghi nhớ

  • Phương trình mặt cầu tâmI(a,b,c)I(a, b, c), bán kínhRRlà:(xa)2+(yb)2+(zc)2=R2(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2.
  • Chỉ cần thay tọa độ và bán kính đúng vào công thức tổng quát.
  • Chú ý kiểm tra dấu, phép toán và các trường hợp đặc biệt.

Hy vọng bài viết đã giúp bạn hiểu sâu về cách viết phương trình mặt cầu từ tâm và bán kính cũng như áp dụng thành thạo vào bài tập hình học không gian lớp 12.

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".