1. Giới thiệu khái niệm và tầm quan trọng của việc viết phương trình mặt phẳng trong không gian

Trong chương trình Toán lớp 12, việc viết phương trình mặt phẳng trong không gian là một trong những nội dung quan trọng của hình học không gian. Việc hiểu rõ và thành thạo các dạng viết phương trình mặt phẳng giúp học sinh giải quyết nhanh gọn các bài toán về giao điểm, góc, khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng, cũng như các bài toán thực tế mô hình hóa bề mặt trong kỹ thuật và vật lý. Từ đó, học sinh nắm vững nền tảng để tiếp tục học giải tích trong không gian đa chiều hoặc ôn luyện thi đại học.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng của khái niệm

Một mặt phẳng trong không gian$ext{Oxyz}$ được xác định bởi một véc-tơ pháp tuyến$oldsymbol{n}=(A,B,C)<br />eq(0,0,0)$và một điểm$M_0(x_0,y_0,z_0)$nằm trên mặt phẳng. Phương trình tổng quát của mặt phẳng là:$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0ag{1}$Khi phát triển (1), ta được dạng tọa độ:$Ax+By+Cz+D=0,ag{2}$trong đó $D=-(Ax_0+By_0+Cz_0)$là hằng số.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Cách chung để viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm$A,B,C$không thẳng hàng:

Bước 1: Tính hai véc-tơ chỉ phương trong mặt phẳng:$oldsymbol{u}=oldsymbol{AB}$và $oldsymbol{v}=oldsymbol{AC}$.

Bước 2: Tính véc-tơ pháp tuyến$oldsymbol{n}=oldsymbol{u}imesoldsymbol{v}=(A,B,C)$.

Bước 3: Chọn điểm$M_0(x_0,y_0,z_0)$(có thể là $A$) và thay vào công thức (1) hoặc (2).

Ví dụ minh họa: Cho$A(1,0,2)$,$B(2,1,-1)$,$C(0,-1,3)$. Viết phương trình mặt phẳng$(ABC)$.

• Tính$oldsymbol{u}=oldsymbol{AB}=(2-1,<br />1-0,-1-2)=(1,1,-3)$. • Tính$oldsymbol{v}=oldsymbol{AC}=(0-1,-1-0,3-2)=(-1,-1,1)$.

• Tính

Ta có thể lấy$oldsymbol{n}=(-1,1,0)$cho gọn. Chọn$M_0=A(1,0,2)$và thay vào (2):

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Nếu mặt phẳng song song với trục$Oz$, thì $C=0$và phương trình chỉ chứa$x,y$.
• Dạng giao截 (intercept form): khi mặt phẳng cắt trục$Ox,Oy,Oz$tại$a,b,c<br />eq0$, có thể viết$frac{x}{a}+frac{y}{b}+frac{z}{c}=1.$

• Lưu ý: Không áp dụng dạng giao截 nếu một trong$a,b,c=0$(trục đó song song với mặt phẳng).

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

• Góc giữa hai mặt phẳng: nếu$oldsymbol{n}_1,oldsymbol{n}_2$là pháp tuyến, góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa$oldsymbol{n}_1$và $oldsymbol{n}_2$given by$frac{oldsymbol{n}_1oldsymbol{ullet}oldsymbol{n}_2}{<br />orm{oldsymbol{n}_1}<br />orm{oldsymbol{n}_2}}=igl|<br />ablahetaigr|.$

• Khoảng cách từ điểm$M(x_1,y_1,z_1)$ đến mặt phẳng$Ax+By+Cz+D=0$là$d=\frac{|Ax_1+By_1+Cz_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$

• Giao tuyến của hai mặt phẳng là một đường thẳng, có thể tìm bằng hệ hai phương trình.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm$P(2,-1,3)$và vuông góc với véc-tơ $oldsymbol{n}=(1,2,-2)$.

Lời giải: Dễ thấy phương trình là

Bài 2: Cho mặt phẳng$(P):2x-y+3z-4=0$. Tính khoảng cách từ $M(1,2,0)$ đến$(P)$.

Lời giải: Áp dụng công thức$d=\frac{|2p1-1p2+3p0-4|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}}=\frac{|2-2-4|}{\sqrt{14}}=\frac{4}{\sqrt{14}}ext{ đơn vị.}$

Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng$(P_1):x+ y+ z-1=0$và $(P_2):2x-y+z+2=0$và song song với$Ox$.

Lời giải: Mặt phẳng tổng quát là $(P): (x+y+z-1)+<br />u(2x-y+z+2)=0$. Do song song với$Ox$nên pháp tuyến$(1+2<br />u,1-<br />u,1+<br />u)$có thành phần$x$phải 0, tức$1+2<br />u=0o<br />u=-frac12$. Thay vào, nhận$P: (x+y+z-1)-frac12(2x-y+z+2)=0o x+y+z-1-x+frac12y-frac12z-1=0o frac32y+frac12z-2=0,$Marks inserted incorrectly.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhầm lẫn giữa véc-tơ pháp tuyến và véc-tơ chỉ phương;
• Quên cộng dấu$D$khi phát triển phương trình;
• Không kiểm tra ba điểm có thẳng hàng không trước khi viết phương trình qua ba điểm;
• Sử dụng sai công thức khoảng cách (cần lấy giá trị tuyệt đối).

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Phương trình tổng quát:$Ax+By+Cz+D=0$.
- Dạng véc-tơ:$oldsymbol{n}oldsymbol{ullet}(oldsymbol{r}-oldsymbol{r_0})=0$.
- Dạng tham số:

- Dạng giao截:$frac{x}{a}+frac{y}{b}+frac{z}{c}=1$(khi$a,b,c<br />eq0$).
- Công thức khoảng cách và góc giữa các mặt phẳng.