Viết phương trình mặt phẳng trong không gian: Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về "Viết phương trình mặt phẳng trong không gian"

Trong hình học không gian lớp 12, "viết phương trình mặt phẳng trong không gian" là một khái niệm trọng tâm. Việc hiểu và thành thạo kỹ năng này giúp các em giải quyết dễ dàng các bài toán liên quan tới mặt phẳng, đường thẳng, tính toán hình học ba chiều, đồng thời là kiến thức nền tảng cho các bài học ở bậc Đại học cũng như ứng dụng thực tiễn. Mặt phẳng là đối tượng hình học cơ bản, quyết định đến việc xác định vị trí của điểm, đường thẳng hoặc vật thể trong không gian. Khi viết được phương trình mặt phẳng, học sinh sẽ hiểu rõ hơn về cách mô tả vị trí cũng như khả năng tính toán các đại lượng hình học trong không gian.

2. Định nghĩa chính xác phương trình mặt phẳng trong không gian

Một mặt phẳng trong không gian Oxyz có dạng tổng quát là:

Ax + By + Cz + D = 0

Trong đó:

• $A, B, C$không đồng thời bằng 0; gọi là các hệ số chỉ phương (hoặc thành phần vector pháp tuyến của mặt phẳng).
• $D$là hằng số.

$(A, B, C)$là tọa độ của một vector pháp tuyến$\vec{n}$vuông góc với mặt phẳng.

3. Các cách viết phương trình mặt phẳng kèm ví dụ chi tiết

3.1. Viết phương trình mặt phẳng khi biết vector pháp tuyến và một điểm

Cho mặt phẳng$\left( P \right)$ đi qua điểm$M_0(x_0, y_0, z_0)$và có vector pháp tuyến$\vec{n} = (A, B, C)$, phương trình mặt phẳng là:

$A(x-x_0)$)$+$B(y-y_0)$)$+$C(z-z_0)$)$= 0

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm$M(1,2,3)$và có vector pháp tuyến$\vec{n} = (2, -1, 4)$.

Ta thay vào công thức:

2$(x-1)$- 1$(y-2)$+ 4$(z-3)$= 0

$2x - 2$-$y + 2$+$4z - 12$= 0

2x -$y + 4z - 12$= 0

Hoặc rút gọn:

2x -$y + 4z - 12$= 0

3.2. Viết phương trình mặt phẳng khi biết ba điểm không thẳng hàng

Cho ba điểm$A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,$C(x_3, y_3, z_3)$không thẳng hàng.

Ta xác định hai vector chỉ phương của mặt phẳng:

$\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$

$\vec{AC} = (x_3 - x_1, y_3 - y_1, z_3 - z_1)$

Xác định vector pháp tuyến bằng tích có hướng:

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$

Ví dụ: Cho$A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1)$. Viết phương trình mặt phẳng$ABC$.

+$\vec{AB} = (-1, 1, 0)$,$\vec{AC} = (-1, 0, 1)$

+$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = (1, 1, 1)$

Mặt phẳng qua$A(1,0,0)$có phương trình:

1$(x-1)$+ 1$(y-0)$+ 1$(z-0)$= 0 \iff x + y +$z - 1$= 0

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

• Mặt phẳng song song với trục$Oz$:$C = 0$(phương trình dạng$Ax + By + D = 0$).
• Mặt phẳng song song với trục$Oy$:$B = 0$(phương trình dạng$Ax + Cz + D = 0$).
• Mặt phẳng song song với trục$Ox$:$A = 0$(phương trình dạng$By + Cz + D = 0$).
• Nếu một mặt phẳng đi qua gốc tọa độ $O(0, 0, 0)$thì $D = 0$.

Khi đó, các hệ số cần chú ý để tránh việc$A = B = C = 0$(không phải là phương trình mặt phẳng).

5. Mối liên hệ với các khái niệm khác

Phương trình mặt phẳng liên hệ chặt chẽ với các khái niệm:

• Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
• Giao tuyến hai mặt phẳng: Giao của hai phương trình mặt phẳng là đường thẳng.
• Quan hệ song song, vuông góc giữa mặt phẳng với mặt phẳng, mặt phẳng với đường thẳng.

Kiến thức về phương trình mặt phẳng giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến khối đa diện, thể tích hình chóp hoặc hình lăng trụ, v.v.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm$A(2, -1, 3)$và vuông góc với đường thẳng có vector chỉ phương$\vec{a} = (4, 1, -2)$.

Giải:

Đường thẳng có vector chỉ phương$\vec{a}$cũng là vector pháp tuyến của mặt phẳng.

Phương trình mặt phẳng:

4$(x-2)$+ 1$(y +1)$+ (-2)$(z - 3)$= 0

$4x - 8$+$y + 1$-$2z + 6$= 0

4x +$y -2z -1$= 0

Đáp án:$4x + y -2z - 1 = 0$

Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm$A(0,1,2)$,$B(1,2,3)$,$C(3,0,1)$.

Giải:

Tính$\vec{AB} = (1-0, 2-1, 3-2) = (1, 1, 1)$

Tính$\vec{AC} = (3-0, 0-1, 1-2) = (3, -1, -1)$

Tính tích có hướng:

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = ( (1)(-1) - (1)(-1), (1)(3)-(1)(-1), (1)(-1)-(1)(3) ) = ( -1+1, 3+1, -1-3 ) = (0,4,-4)$

Phương trình mặt phẳng:

0$(x-0)$+ 4$(y-1)$-4$(z-2)$= 0 \implies 4y-4z+4=0 \implies y-z+1=0

Đáp án:$y-z+1=0$

7. Những lỗi thường gặp và cách tránh

• Không xác định đúng vector pháp tuyến (với 3 điểm, tích có hướng hai vector chỉ phương phải chính xác).
• Sai dấu khi thay toạ độ điểm vào phương trình mặt phẳng gốc.
• Không kiểm tra$A = B = C = 0$(không phải phương trình mặt phẳng).
• Rút gọn sai hoặc nhầm lẫn trong quá trình chuyển đổi giữa các dạng phương trình mặt phẳng.

Để tránh các lỗi trên, nên kiểm tra kỹ các phép toán vector, thay tọa độ và thực hiện các bước biến đổi rõ ràng, cẩn thận.

8. Tóm tắt & điểm cần nhớ

• Phương trình mặt phẳng trong không gian có dạng$Ax + By + Cz + D = 0$, với$A, B, C$không đồng thời bằng 0.
• Không được quên xác định đúng vector pháp tuyến và thay toạ độ điểm vào công thức.
• Có thể viết phương trình mặt phẳng dựa vào (i) vector pháp tuyến và điểm, (ii) ba điểm không thẳng hàng.
• Kiểm tra lại kết quả, đặc biệt khi chuyển về dạng tổng quát hoặc rút gọn. Kiến thức này có nhiều ứng dụng trong các bài toán không gian thực tiễn.