Viết phương trình mặt phẳng trong không gian: Khái niệm, hướng dẫn chi tiết và bài tập cho lớp 12

1. Giới thiệu về khái niệm 'Viết phương trình mặt phẳng trong không gian'

Trong hình học không gian lớp 12, khái niệm về mặt phẳng và phương trình mặt phẳng giữ một vị trí quan trọng trong việc giúp học sinh mô tả, nhận biết cũng như giải quyết các bài toán về các đối tượng hình học trong không gian. Việc viết phương trình mặt phẳng trong không gian là hành trang không thể thiếu để các em chuẩn bị cho các kỳ thi tốt nghiệp, đại học và ứng dụng trong toán học cũng như trong các lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật,...

2. Định nghĩa phương trình mặt phẳng trong không gian

Phương trình mặt phẳng trong không gian là biểu thức đại số mô tả tập hợp các điểm cách đều nhau tạo thành một mặt phẳng, thường dưới dạng tổng quát:

• Phương trình tổng quát của mặt phẳng:$Ax + By + Cz + D = 0$, trong đó $A, B, C$không đồng thời bằng$0$.

Ở đây,$(x, y, z)$là tọa độ của điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng,$(A, B, C)$là tọa độ của vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và $D$là một hằng số.

3. Cách viết phương trình mặt phẳng – Hướng dẫn từng bước

Có nhiều cách viết phương trình mặt phẳng tùy thuộc vào dữ liệu đề bài cho: biết điểm đi qua và vectơ pháp tuyến, biết ba điểm không thẳng hàng, hay biết giao tuyến của hai mặt phẳng với điều kiện khác,... Dưới đây là các trường hợp thường gặp cùng ví dụ minh họa.

a) Trường hợp 1: Biết điểm đi qua và vectơ pháp tuyến

Cho mặt phẳng$(P)$ đi qua điểm$M_0(x_0, y_0, z_0)$và có vectơ pháp tuyến$\boldsymbol{n} = (A, B, C)$. Phương trình mặt phẳng là:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

Khai triển, ta được phương trình tổng quát:$Ax + By + Cz + D = 0$với$D = -Ax_0 - By_0 - Cz_0$.

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm$M(1, 2, 3)$và có vectơ pháp tuyến$\boldsymbol{n} = (2, -1, 4)$.

Áp dụng công thức:$2(x - 1) - 1(y - 2) + 4(z - 3) = 0 \o 2x - 2 - y + 2 + 4z - 12 = 0 \o 2x - y + 4z - 12 = 0$

b) Trường hợp 2: Biết ba điểm không thẳng hàng

Giả sử $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,$C(x_3, y_3, z_3)$là ba điểm không thẳng hàng. Khi đó, mặt phẳng$(P)$ đi qua ba điểm này có phương trình:

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm$A(1, 0, 0)$,$B(0, 2, 0)$,$C(0, 0, 3)$.

Áp dụng công thức trên:

Khai triển định thức ta được:
$<br />(x-1)(2 \times 3 - 0) - y(-1 \times 3 - 0) + z(-1 \times 0 - (-1 \times 2)) = 0<br />$
$<br />6(x-1) + 3y + 2z = 0 \Rightarrow 6x + 3y + 2z - 6 = 0<br />$

c) Trường hợp 3: Mặt phẳng chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng khác

Giả sử mặt phẳng$(P)$chứa đường thẳng$d$và vuông góc với mặt phẳng$(Q)$. Xác định vectơ chỉ phương của$d$và vectơ pháp tuyến của$(Q)$, sau đó lấy tích vectơ để tìm vectơ pháp tuyến của$(P)$.

Cách làm chi tiết sẽ có ở phần bài tập mẫu.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu mặt phẳng song song với trục Ox thì $A = 0$.
- Nếu mặt phẳng song song với trục Oy thì $B = 0$.
- Nếu mặt phẳng song song với trục Oz thì $C = 0$.
- Nếu mặt phẳng đi qua gốc tọa độ thì $D = 0$.

Lưu ý:
- Không dùng phương trình tổng quát khi tất cả hệ số $A, B, C$cùng bằng$0$(khi đó không còn là mặt phẳng).
- Không nhầm lẫn vectơ pháp tuyến với vectơ chỉ phương.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Phương trình mặt phẳng liên quan trực tiếp đến phương trình đường thẳng (xác định giao tuyến), mặt cầu (vị trí tương đối), tọa độ điểm trong không gian, vectơ, tích vô hướng, tích có hướng. Việc nắm vững khái niệm này là nền tảng để học sinh giải các bài toán phức tạp hơn như xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, giao tuyến giữa hai mặt phẳng, xác định hình chiếu vuông góc,...

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm$M(2, -1, 3)$và có vectơ pháp tuyến$\boldsymbol{n} = (1, 2, -1)$.

Giải:

Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm$A(1, 2, 1)$,$B(2, 3, 4)$,$C(4, 0, 2)$.

Giải: Tính hai vectơ:
$\overrightarrow{AB} = (1, 1, 3)$
$\overrightarrow{AC} = (3, -2, 1)$
Tích có hướng:

Vectơ pháp tuyến$\boldsymbol{n} = (7, 8, -5)$.
Áp dụng công thức mặt phẳng qua điểm$A(1, 2, 1)$:
$7(x-1) + 8(y-2) - 5(z-1) = 0 \rightarrow 7x + 8y - 5z - 7 - 16 + 5 = 0 \rightarrow 7x + 8y - 5z - 18 = 0$

Bài 3: Cho đường thẳng$d: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{1}$. Viết phương trình mặt phẳng qua điểm$A(1, -1, 0)$chứa$d$và vuông góc với mặt phẳng$(Q): x + y + z - 2 = 0$.

Giải:
- Vectơ chỉ phương của$d$là $\mathbf{u} = (2, -1, 1)$.
- Vectơ pháp tuyến của$(Q)$là $\mathbf{n}_Q = (1, 1, 1)$.
- Vectơ pháp tuyến mặt phẳng$P$là $\mathbf{n}_P = \mathbf{u} \times \mathbf{n}_Q$.

Tính tích có hướng:

Nhận$\mathbf{n}_P = (-2, -1, 3)$, mặt phẳng qua$A(1, -1, 0)$:

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhầm lẫn giữa vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương: Luôn xác định đúng vai trò của các vectơ.
• Viết sai hằng số $D$. Cần thay đúng tọa độ điểm vào công thức.
• Sử dụng nhầm dấu trong khai triển định thức hoặc phép nhân vectơ. Khi khai triển định thức$3 \times 3$, nên làm từng bước.
• Quên kiểm tra điều kiện không đồng phẳng của ba điểm.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Phương trình mặt phẳng có dạng tổng quát:$Ax + By + Cz + D = 0$với$(A, B, C) \neq (0, 0, 0)$.
- Cách viết phương trình mặt phẳng tùy vào dữ kiện đề bài cho (điểm, vectơ pháp tuyến, ba điểm...).
- Vectơ pháp tuyến quyết định phương của mặt phẳng.
- Luôn kiểm tra kỹ dữ kiện và chú ý các trường hợp đặc biệt.

Có thể bạn muốn xem thêm

• Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
• Cách xác định giao tuyến của hai mặt phẳng