Viết phương trình mặt phẳng trong không gian: Lý thuyết, ví dụ, bài tập chi tiết cho lớp 12

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng của "Viết phương trình mặt phẳng trong không gian" trong chương trình toán học lớp 12

Trong hình học không gian lớp 12, "viết phương trình mặt phẳng trong không gian" là một kỹ năng trọng tâm và nền tảng. Đây là nội dung không chỉ xuất hiện đa dạng trong các bài kiểm tra, đề thi THPT Quốc gia mà còn rất hữu ích ứng dụng trong thực tế – như trong kiến trúc, kỹ thuật, lập trình đồ họa. Nắm vững kiến thức này giúp các bạn học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán liên quan đến vị trí, khoảng cách, góc giữa các đối tượng hình học trong không gian.

2. Định nghĩa chính xác về phương trình mặt phẳng trong không gian

Mặt phẳng trong không gian là tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn một phương trình bậc nhất có dạng tổng quát:

Trong đó:
-$A, B, C$là các hệ số (không đồng thời bằng 0).
-$D$là hệ số tự do.
-$(x, y, z)$là tọa độ của một điểm bất kỳ trên mặt phẳng.

3. Các cách viết phương trình mặt phẳng với ví dụ minh họa

A. Dạng tổng quát

Phương trình mặt phẳng tổng quát:$Ax + By + Cz + D = 0$

- Nếu biết một véctơ pháp tuyến$\vec{n} = (A, B, C)$và điểm$M_0(x_0, y_0, z_0)$nằm trên mặt phẳng.

Khi đó, phương trình mặt phẳng là:

Hay chuyển về dạng tổng quát:$Ax + By + Cz + D = 0$, với$D = -(Ax_0 + By_0 + Cz_0)$.

Ví dụ: Cho mặt phẳng đi qua điểm$A(1, 2, 3)$và có véctơ pháp tuyến$\vec{n}=(2, -1, 4)$. Hãy viết phương trình mặt phẳng đó.

Giải:
Ta có:$A=2$,$B=-1$,$C=4$,$x_0=1$,$y_0=2$,$z_0=3$.

Phương trình:
$<br />2(x-1) -1(y-2) + 4(z-3) = 0<br />$

Phát triển ra:
$<br />2x - 2 - y + 2 + 4z - 12 = 0 <br />\Leftrightarrow 2x - y + 4z - 12 = 0 <br />\Leftrightarrow 2x - y + 4z - 12 = 0<br />$

B. Dạng đi qua 3 điểm không thẳng hàng

Giả sử mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt$A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,$C(x_3, y_3, z_3)$không thẳng hàng.
Bước 1: Tính hai véctơ $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$
Bước 2: Tìm véctơ pháp tuyến bằng tích có hướng:$\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$
Bước 3: Dùng kết quả này và điểm$A$ để viết phương trình mặt phẳng.

Ví dụ: Cho$A(1, 2, 3), B(0, 1, 2), C(2, 0, 1)$. Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm này.

Giải:

$\overrightarrow{AB} = (0-1, 1-2, 2-3) = (-1, -1, -1)$
$\overrightarrow{AC} = (2-1, 0-2, 1-3) = (1, -2, -2)$

Tích có hướng:
\begin{align*}
\vec{n} &= \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \\
&=\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
-1 & -1 & -1 \\
1 & -2 & -2
\end{vmatrix} \\
&= ((-1)*(-2) - (-1)*(-2),\; -((-1)*(-2) - (-1)*1),\; (-1)*(-2) - (-1)*1) \\
&= (2-2, -(2-(-1)), (2-(-1)))\\
&= (0, -3, 3)
\end{align*}

Chọn$\vec{n} = (0, -3, 3) = (0, 1, -1)$cũng được.

Viết phương trình mặt phẳng nhận$A(1,2,3)$và $\vec{n}=(0,-3,3)$:

$0(x-1) -3(y-2) + 3(z-3) = 0$

$\Leftrightarrow -3y + 6 + 3z - 9 = 0$

$\Leftrightarrow -3y + 3z - 3 = 0$

$\Leftrightarrow y - z + 1 = 0$

C. Dạng tham số mặt phẳng

Giả sử mặt phẳng đi qua điểm$A(x_0, y_0, z_0)$, và nhận hai véc-tơ $\vec{u} = (a_1, b_1, c_1)$,$\vec{v} = (a_2, b_2, c_2)$không cùng phương làm véc-tơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số là:

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

- Nếu mặt phẳng song song hoặc vuông góc với các trục tọa độ thì một (hoặc nhiều) hệ số $A, B, C$sẽ bằng 0.
- Nếu mặt phẳng đi qua gốc tọa độ:$D=0$.
- Khi ba điểm thẳng hàng thì không xác định được mặt phẳng, cần chú ý kiểm tra tính không thẳng hàng bằng điều kiện véctơ chỉ phương không cùng phương.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Liên hệ với véctơ pháp tuyến: véctơ pháp tuyến đặc trưng hướng của mặt phẳng.
- Liên hệ với phương trình đường thẳng trong không gian, phương trình mặt cầu…
- Áp dụng vào tìm khoảng cách, xác định vị trí tương đối giữa các đối tượng trong không gian.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua$M(2, -1, 3)$và có véctơ pháp tuyến$\vec{n} = (1, 4, -2){.}$

Giải:
Phương trình cần tìm:
$<br />1(x-2) + 4(y+1) -2(z-3)=0 <br />\Leftrightarrow x-2+4y+4-2z+6=0<br />\Leftrightarrow x + 4y - 2z + 8=0<br />$

Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng chứa các điểm$A(1, 2, -1), B(0, 3, 2), C(-1, 1, 1)$.

Giải:
$\overrightarrow{AB} = (0-1, 3-2, 2-(-1)) = (-1,1,3)$
$\overrightarrow{AC} = (-1-1, 1-2, 1-(-1)) = (-2,-1,2)$
Tích có hướng:
\begin{align*}
\vec{n} & = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \\ & = (1*2-3*(-1), -( (-1)*2-3*(-2)), (-1)*(-1)-1*(-2)) \\ & = (2+3, -(-2+6), (1+2)) = (5, -(-4), 3) = (5, 4, 3)\\\end{align*}

Phương trình mặt phẳng qua$A(1,2,-1)$:
$<br />5(x-1) + 4(y-2) + 3(z+1) = 0<br />\Leftrightarrow 5x + 4y + 3z - 5 - 8 + 3 = 0<br />\Leftrightarrow 5x + 4y + 3z - 10 = 0<br />$

Bài 3: Cho mặt phẳng$(P): x - 2y + 3z - 6 = 0$.
(i) Xác định tọa độ véctơ pháp tuyến của$(P)$.
(ii) Kiểm tra điểm$A(2, 1, 2)$có thuộc mặt phẳng không.

(i) Véctơ pháp tuyến:$\vec{n} = (1, -2, 3)$
(ii) Thay tọa độ $A$vào phương trình:
$2 - 2<em>1 + 3</em>2 - 6 = 2 - 2 + 6 - 6 = 0$
$ightarrow$Điểm$A$thuộc mặt phẳng$(P)$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Xác định không đúng véctơ pháp tuyến.
- Ba điểm thẳng hàng nên không lập được mặt phẳng.
- Tính sai tích có hướng.
- Không kiểm tra xem điểm đã thực sự nằm trên mặt phẳng hay chưa.
Để tránh mắc lỗi, các bạn nên:
+ Viết ra đầy đủ các bước biến đổi.
+ Kiểm tra lại kết quả bằng cách thay điểm vào phương trình.
+ Khi tính tích có hướng nên ghi từng bước rõ ràng.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Phương trình mặt phẳng trong không gian có dạng$Ax + By + Cz + D = 0$.
- Biết một điểm và véctơ pháp tuyến hoặc 3 điểm không thẳng hàng là đủ để xác định một mặt phẳng.
- Quan trọng là biết cách chuyển đổi các dạng khác nhau (tổng quát, tham số, thông qua các điều kiện cho).
- Thành thạo các thao tác với véctơ, tích có hướng để giải quyết các bài toán liên quan.