1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng của nó trong chương trình toán học

Trong chương trình Toán lớp 12, việc hiểu và vận dụng đúng cách viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng là rất quan trọng. Đây là cơ sở để giải các bài toán về vị trí tương đối của hai đường thẳng, giao điểm với đường cong, cũng như các bài toán hình học phân tích. Nếu nắm vững khái niệm này, học sinh sẽ tự tin giải quyết nhiều dạng bài nâng cao trong cả học kỳ và kì thi THPT Quốc gia.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng của khái niệm

2.1. Phương trình tham số của đường thẳng

Cho đường thẳng đi qua điểm$A(x_0,y_0)$và có véc-tơ chỉ phương$oldsymbol{u}=(a,b)$. Khi đó, phương trình tham số của đường thẳng là:

Trong đó,$t$là tham số thực.

2.2. Phương trình chính tắc (chính thức) của đường thẳng

Nếu trong véc-tơ chỉ phương$oldsymbol{u}=(a,b)$ta có $a \neq 0$và $b<br>eq0$, thì từ hệ tham số ta suy ra được phương trình chính tắc:

$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}\,.$

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Bước 1: Xác định điểm$A(x_0,y_0)$và véc-tơ chỉ phương$oldsymbol{u}=(a,b)$.

Ví dụ 1: Cho điểm$A(1,2)$và véc-tơ chỉ phương$\boldsymbol{u}=(3,-1)$.

– Phương trình tham số:

– Phương trình chính tắc: Vì $a=3<br>eq0$,$b=-1<br>eq0$, nên

$\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{-1}\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{x-1}{3}=-\,(y-2)\,.$

Bước 2: Kiểm tra tính đúng của phương trình bằng cách cho giá trị tham số $t$và tính tọa độ điểm trên đường thẳng.

Ví dụ: Chọn$t=2$thì $x=1+3 \cdot 2=7$,$y=2-2=0$. Điểm$(7,0)$thỏa mãn phương trình tham số và cũng thỏa mãn phương trình chính tắc.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

4.1. Trường hợp véc-tơ chỉ phương có thành phần bằng 0

– Nếu$a=0$,$b<br>eq0$, đường thẳng song song trục$Ox$và có phương trình tham số:

Ta không thể viết phương trình chính tắc dạng$\frac{x-x_0}{0}$. Thay vào đó, phương trình chính tắc là:

– Nếu$b=0$, tương tự đường thẳng song song trục$Oy$có phương trình:

4.2. Lưu ý khi chọn véc-tơ chỉ phương

Véc-tơ chỉ phương$(a,b)$chỉ định hướng của đường thẳng. Nếu nhân véc-tơ bởi một hằng số $k<br>eq0$, ta vẫn thu được cùng một đường thẳng vì:

$\boldsymbol{u}=(a,b)\quad\Longleftrightarrow\quad k\boldsymbol{u}=(ka,kb)$

Do đó, khi xác định véc-tơ chỉ phương, có thể chọn$(a,b)$ đơn giản nhất sao cho không làm mất tính chính xác.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

– Hệ tọa độ trong không gian: Khi mở rộng sang không gian$\mathbb R^3$, phương trình tham số của đường thẳng có dạng:

– Giao điểm đường thẳng và đường cong: Thay hệ tham số vào phương trình đường cong để tìm giao điểm.

– Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Dựa vào véc-tơ chỉ phương và hệ chính tắc để xác định song song, cắt nhau hay trùng nhau.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng đi qua$B(2,-1)$và vuông góc với véc-tơ $\boldsymbol{v}=(4,3)$.

Lời giải:

Véc-tơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc với$\boldsymbol{v}=(4,3)$là $\boldsymbol{u}=(-3,4)$(hoặc$(3,-4)$). Chọn$\boldsymbol{u}=(-3,4)$và điểm$B(2,-1)$.

– Phương trình tham số:

– Phương trình chính tắc:

$\frac{x-2}{-3}=\frac{y+1}{4}\,.$

Bài tập 2: Cho đường thẳng$d$có hệ tham số

Lời giải:

- Giao với trục$Ox$khi$y=0 \Rightarrow 3-3t=0 \Rightarrow t=1$. Khi đó $x=5+2 \cdot 1=7$. Giao điểm:$(7,0)$.

- Giao với trục$Oy$khi$x=0 \Rightarrow 5+2t=0 \Rightarrow t=-\frac52$. Khi đó $y=3-3(-\tfrac52)=3+\tfrac{15}2=\tfrac{21}2$. Giao điểm:$(0,\tfrac{21}2)$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhầm lẫn véc-tơ pháp tuyến và véc-tơ chỉ phương: Véc-tơ pháp tuyến$\boldsymbol{n}=(A,B)$cho phương trình$Ax+By+C=0$, không phải dùng trực tiếp cho tham số.

- Viết phương trình chính tắc khi một trong các thành phần véc-tơ chỉ phương bằng 0: Phải chia riêng trường hợp$a=0$hoặc$b=0$.

- Quên kiểm tra lại bằng cách thế tham số: Luôn thử một giá trị $t$cụ thể để đảm bảo đúng.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Phương trình tham số của đường thẳng qua$A(x_0,y_0)$có véc-tơ chỉ phương$(a,b)$là

• Phương trình chính tắc (khi$a \neq 0,b<br>eq0$):$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}$.

• Xử lý các trường hợp$a=0$hoặc$b=0$riêng biệt.

• Kiểm tra kết quả bằng cách thế tham số.

Việc nắm vững phương trình tham số và phương trình chính tắc là nền tảng quan trọng để giải nhiều dạng bài Toán hình học phân tích và Đại số trong chương trình lớp 12.