Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng: Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng

Trong chương trình Toán lớp 12, việc biết cách viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng là một phần quan trọng thuộc chương "Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu". Các loại phương trình này giúp mô tả, xác định vị trí của đường thẳng trong không gian toạ độ, đồng thời là công cụ nền tảng để giải quyết các bài toán về hình học không gian, giao của các hình, khoảng cách, song song, vuông góc,... Việc hiểu và vận dụng tốt các phương trình này là bước chuẩn bị quan trọng cho các kỳ thi tốt nghiệp THPT quốc gia, Đại học, và các kỳ thi học sinh giỏi.

Bài viết này sẽ giúp các bạn nắm chắc khái niệm, phương pháp viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng, từ cơ bản đến nâng cao, với các ví dụ minh họa, bài tập mẫu, những lưu ý và lỗi thường gặp.

2. Định nghĩa phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng

a) Phương trình tham số của đường thẳng

Trong đó:

• $(x_0, y_0, z_0)$: một điểm thuộc đường thẳng (điểm đi qua)
• $(a, b, c)$: các thành phần của vectơ chỉ phương của đường thẳng.
• $t$: tham số, nhận mọi giá trị thực.

b) Phương trình chính tắc của đường thẳng

Lưu ý: Nếu một trong các hệ số $a, b, c$bằng$0$thì phương trình sẽ có dạng riêng biệt, cần xét riêng khi chuyển về dạng chính tắc.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng$d$ đi qua điểm$A(1, -2, 3)$và có vectơ chỉ phương$\vec{u} = (2, 1, -1)$.

1. Bước 1: Xác định điểm đi qua và vectơ chỉ phương.
   - Điểm$A(1, -2, 3)$.
   -$\vec{u} = (2, 1, -1)$.
2. Bước 2: Viết phương trình tham số:
   
   $$\left\{\begin{array}{l} x = 1 + 2t \\ y = -2 + 1 t \\ z = 3 - 1 t \\\end{array}\right. \quad (t \in \mathbb{R})$$
3. Bước 3: Viết phương trình chính tắc:
   $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 3}{-1}$

Nhận xét: Mỗi giá trị $t$cho ta một điểm trên đường thẳng$d$. Dạng chính tắc dùng tiện khi muốn thể hiện mối liên hệ giữa$x, y, z$trên đường thẳng.

4. Trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu một hoặc hai thành phần của vectơ chỉ phương bằng$0$, ta phải điều chỉnh cách viết phương trình chính tắc. Ví dụ nếu$a = 0$:

- Nếu hai thành phần bằng 0 (ví dụ $a = b = 0$), đường thẳng song song với trục$Oz$và có dạng tham số:

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng liên quan chặt chẽ đến các vấn đề sau:

• Tìm giao điểm của hai đường thẳng, hoặc giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
• Xét điều kiện song song, vuông góc giữa hai đường thẳng hoặc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
• Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, từ đường thẳng này đến đường thẳng khác.
• Tìm hình chiếu, hoặc lập phương trình đường thẳng qua hai điểm...

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho hai điểm$A(1, 2, 3)$,$B(4, 0, -1)$. Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm này.

Lời giải:

1. Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương:
   $\vec{AB} = (4-1, 0-2, -1-3) = (3, -2, -4)$
2. Bước 2: Viết phương trình tham số:
   
   $$\left\{\begin{array}{l} x = 1 + 3t \\ y = 2 - 2t \\ z = 3 - 4t \\\end{array}\right. (t \in \mathbb{R})$$
3. Bước 3: Viết phương trình chính tắc:
   $\frac{x-1}{3} = \frac{y-2}{-2} = \frac{z-3}{-4}$

Bài tập 2: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng$d$ đi qua điểm$M(0, 1, 2)$và song song với trục$Oy$.

1. Vì song song với$Oy$nên vectơ chỉ phương là $(0,1,0)$.
2. Phương trình tham số:
   
   $$\left\{\begin{array}{l} x = 0 \\ y = 1 + t \\ z = 2 \\\end{array}\right. (t \in \mathbb{R})$$
3. Phương trình chính tắc (do$a=0$,$c=0$):
   $x = 0; \quad z = 2$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Chọn sai vectơ chỉ phương, nhất là khi đi qua hai điểm: luôn lấy hiệu$\vec{AB} = B - A$.
• Lẫn lộn giữa điểm đi qua và vectơ chỉ phương khi thay vào biểu thức.
• Quên điều kiện với hệ số (ví dụ hệ số bằng 0) dẫn đến sai về dạng phương trình chính tắc.
• Viết sai dấu hoặc nhầm lẫn dấu của các thành phần trong phép tính.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Nắm rõ khái niệm: phương trình tham số, chính tắc đều diễn tả tập điểm trên đường thẳng.
• Phương trình tham số: chỉ cần 1 điểm đi qua và 1 vectơ chỉ phương.
• Phương trình chính tắc: loại tham số ra khi$a, b, c$ đều khác 0; chú ý trường hợp hệ số bằng 0.
• Viết chuẩn xác dấu và các yếu tố trong công thức để tránh sai lầm đáng tiếc.
• Ôn luyện nhiều dạng bài từ cơ bản đến nâng cao để thành thạo kỹ năng.

Hi vọng bài viết đã giúp bạn hiểu rõ và vững vàng về viết phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng. Hãy luyện tập thêm các bài tập liên quan để thành thạo trước khi bước vào các kỳ thi quan trọng!