Viết Phương Trình Tham Số Và Chính Tắc Của Đường Thẳng – Giải Thích Chi Tiết Cho Học Sinh Lớp 12

1. Giới thiệu về phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng

Trong hình học không gian lớp 12, việc xác định phương trình của đường thẳng đóng vai trò rất quan trọng.Việc hiểu và biết cách viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng không chỉ giúp các em giải nhanh các bài toán về hình học phẳng và không gian mà còn là nền tảng để học tốt các kiến thức toán học nâng cao.

Hai dạng phương trình này giúp ta biểu diễn chính xác vị trí một đường thẳng trong không gian, từ đó xác định quan hệ với các điểm, đường thẳng, mặt phẳng khác và giải các bài tập liên quan.

2. Định nghĩa phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng

Cả hai phương trình này đều dựa trên việc biết một điểm thuộc đường thẳng và một vector chỉ phương (vector xác định hướng của đường thẳng).

3. Phương trình tham số – Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

*Giả sử cho đường thẳng d đi qua điểm$A(x_0, y_0, z_0)$và có vector chỉ phương$\vec{u} = (a, b, c)$.Khi đó, phương trình tham số của d là:*

Ví dụ:Cho điểm$A(1; 2; 3)$và vector chỉ phương$\vec{u} = (2; -1; 3)$.Viết phương trình tham số của đường thẳng d.

Trong đó, t là tham số nhận giá trị thuộc$\mathbb{R}$.

4. Phương trình chính tắc – Cách chuyển đổi và ví dụ minh họa

Từ phương trình tham số, ta có thể dễ dàng chuyển sang phương trình chính tắc bằng cách loại bỏ tham số t.Nếu$a, b, c \neq 0$, phương trình chính tắc là:

Áp dụng với ví dụ trên:

5. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

Trường hợp 1: Một trong các thành phần$a, b, c$bằng 0.

- Nếu$a=0$:$x = x_0 \Rightarrow$ đường thẳng song song hoặc nằm trong mặt phẳng$x = x_0$.

- Nếu$b=0$:$y = y_0$; nếu$c=0$:$z = z_0$.

Do đó, phương trình chính tắc có thể là một hoặc hai phương trình dạng$x=x_0; y=y_0; z=z_0$.

Lưu ý quan trọng: Nếu hệ số chỉ phương nào bằng 0 thì phân thức đó bị loại khỏi phương trình chính tắc.

6. Mối liên hệ giữa phương trình tham số/chính tắc và các khái niệm khác

- Viết hệ phương trình tương giao (giải toán giao điểm) giữa hai đường thẳng hoặc đường thẳng và mặt phẳng thường sử dụng dạng tham số hoặc chính tắc.

- Liên kết với vector, xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng (song song, chéo nhau, cắt nhau) và với mặt phẳng.

- Tính khoảng cách điểm đến đường thẳng, đoạn vuông góc chung, … đều bắt nguồn từ phương trình đường thẳng.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

• Bài 1: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng đi qua$A(0;1;-3)$, nhận$\vec{u}=(2;4;8)$làm vector chỉ phương.

Lời giải:

+ Phương trình tham số:

+ Phương trình chính tắc:

• Bài 2: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua$B(2;0;1)$và song song trục$y$.

Lời giải: Vector chỉ phương là $(0;1;0)$, do đó ta có:$x = 2$,$z = 1$, còn$y$biến thiên. Phương trình chính tắc:

8. Các lỗi thường gặp và cách tránh

9. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

Hi vọng qua bài viết này các em đã hiểu rõ về khái niệm, cách viết, chuyển đổi giữa các dạng phương trình đường thẳng và chú ý những điểm cần lưu ý khi làm bài.