Xác định tiệm cận đứng: Khái niệm, phương pháp và ví dụ chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về tiệm cận đứng và tầm quan trọng trong chương trình toán học lớp 12

Trong chương trình Giải tích lớp 12, việc khảo sát, vẽ đồ thị hàm số là một nội dung trọng tâm. Một trong những kỹ năng quan trọng khi khảo sát đồ thị hàm số là xác định các đường tiệm cận — đặc biệt là tiệm cận đứng. Việc hiểu rõ khái niệm và cách xác định tiệm cận đứng không chỉ giúp học sinh vẽ đồ thị chính xác mà còn nâng cao tư duy phân tích về sự biến thiên và tính liên tục của hàm số. Chủ đề này thường xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia cũng như các bài kiểm tra định kỳ.

2. Định nghĩa tiệm cận đứng

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$là đường thẳng đứng$x = a$mà khi$x$tiến đến$a$, giá trị $f(x)$trở nên lớn vô hạn$($+$hoặc$-$)$. Định nghĩa một cách chính xác:

Đường thẳng$x = a$là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$nếu ít nhất một trong hai giới hạn sau đây tồn tại và bằng vô cùng:$\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty$hoặc$\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty$

Nói cách khác, khi$x$tiến về $a$từ bên trái hoặc bên phải mà $f(x)$tiến ra vô cực, thì $x = a$là phương trình tiệm cận đứng.

3. Cách xác định tiệm cận đứng: Các bước thực hiện và ví dụ minh họa

Để xác định tiệm cận đứng của một hàm số, thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Tìm những giá trị $x = a$làm cho hàm số $f(x)$không xác định (thường là mẫu số bằng 0 với hàm phân thức).
• Bước 2: Xét giới hạn một bên của$f(x)$khi$x \to a^+$và $x \to a^-$.
• Bước 3: Nếu một trong hai giới hạn trên là $+$hoặc$-$, thì $x = a$là tiệm cận đứng.

Ví dụ chi tiết:

Ví dụ 1: Xác định tiệm cận đứng của hàm số $y = \frac{1}{x-2}$.

Giải:
- Tìm điểm không xác định:$x-2=0 \Rightarrow x=2$.
- Xét giới hạn:

$\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x-2} = +\infty$

$\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x-2} = -\infty$

Mỗi khi$x$tiến về 2 (từ cả hai phía),$f(x)$tiến ra vô cực. Vậy$x=2$là tiệm cận đứng.

Ví dụ 2: Xác định tiệm cận đứng của hàm số $y = \frac{x+1}{x^2 - 4}$.

- Mẫu số bất định khi$x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$hoặc$x = -2$.
- Xét giới hạn:

$\lim_{x \to 2} \frac{x+1}{x^2 - 4} \rightarrow \frac{3}{0^+} = +\infty$(tuỳ chiều tiến)

Tương tự,$x o -2$cũng tiến tới$\frac{-1}{0}$, kiểm tra dấu mẫu số khi tiến về $-2$.

Vậy$x = 2$và $x = -2$là hai tiệm cận đứng.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi xác định tiệm cận đứng

• Nếu điểm$x = a$làm$f(x)$không xác định do cùng triệt tiêu cả tử và mẫu (dạng$\frac{0}{0}$), nên rút gọn rồi xét lại giới hạn.
• Nếu giới hạn tại$x = a$hữu hạn, thì không có tiệm cận đứng tại đó (chỉ nhận là điểm loại trừ hoặc lỗ hổng hàm số).
• Không có tiệm cận đứng xuất hiện ở những điểm mà hàm số vẫn xác định (ví dụ: hàm đa thức không có tiệm cận đứng).

5. Mối liên hệ của tiệm cận đứng với các khái niệm toán học khác

Tiệm cận đứng thể hiện sự đứt gãy (không liên tục) tại các điểm mà hàm số phân thức không xác định và giá trị hàm tiến tới vô cực. Nó gắn liền với ý tưởng về giới hạn một phía và bất kỳ bài toán khảo sát hàm số nào đều cần xét tiệm cận. Ngoài ra, tiệm cận đứng còn có liên hệ đến các kiến thức như nghiệm của hàm số, dấu hiệu đồng biến nghịch biến quanh tiệm cận, cũng như khái niệm liên tục của hàm số.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Xác định tất cả các tiệm cận đứng của các hàm số sau: a)$y = \frac{2x}{x^2 - 1}$b)$y = \frac{1}{x^2 + 1}$c)$y = \frac{x^2 - 4}{x^2 - x - 6}$

Lời giải:
a)$x^2 - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$hoặc$x = -1$.
- Xét giới hạn:
$\lim_{x \to 1} \frac{2x}{x^2-1} = \frac{2}{0} = \pm \infty$
$\lim_{x \to -1} \frac{2x}{x^2-1} = \frac{-2}{0} = \pm \infty$
=>$x = 1$và $x = -1$ đều là tiệm cận đứng.

b)$x^2 + 1 > 0$với mọi$x$. Không có tiệm cận đứng.

c)$x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2) = 0 \Leftrightarrow x=3$hoặc$x=-2$.
- Kiểm tra tử số:$x^2 - 4 \neq 0$tại$x=3; x=-2$nên đây chính là tiệm cận đứng.

Bài tập 2: Xét tiệm cận đứng của hàm$y = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 4}$.
Mẫu số:$x^2-4=0 \Leftrightarrow x=2; x=-2$. Tử số:$x^2-1=0 \Leftrightarrow x=1; x=-1$. Hai nghiệm này không trùng nhau.
Vậy tiệm cận đứng là $x=2; x=-2$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Chỉ dựa vào nghiệm mẫu số mà không xét dấu hiệu tử số triệt tiêu tại đó. Nếu cả tử và mẫu đều bằng 0 tại$x=a$, cần rút gọn trước khi xác định.
• Không tính giới hạn một bên, dẫn đến nhầm lẫn giữa tiệm cận đứng và lỗ hổng hàm số.
• Hiểu sai tiệm cận đứng là nơi hàm số "bị cắt đứt", thực ra chỉ xảy ra với giá trị $f(x)$tiến ra vô cực khi tiến đến x=a.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Tiệm cận đứng là đường thẳng$x=a$mà tại đó hàm số tiến ra vô cực khi$x\to a$từ trái hoặc phải.
• Chỉ xuất hiện ở các giá trị làm hàm không xác định (thường là nghiệm của mẫu số).
• Cần kiểm tra giới hạn một bên để khẳng định tiệm cận đứng.
• Không phải mọi điểm làm mẫu số bằng 0 đều là tiệm cận đứng (cần xét xem tử số có triệt tiêu không).
• Nắm rõ giúp vẽ đồ thị và làm chủ các dạng bài khảo sát hàm số.