Xác định tọa độ vectơ từ hai điểm: Khái niệm, ý nghĩa và hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng trong chương trình toán học

Trong Chương II: Vectơ và hệ tọa độ trong không gian của Toán lớp 12, việc xác định tọa độ vectơ từ hai điểm là một kỹ năng nền tảng và vô cùng quan trọng. Không chỉ giúp các em hiểu rõ hơn bản chất của vectơ, khái niệm này còn là công cụ không thể thiếu để giải quyết nhiều bài toán hình học không gian, đại số vectơ cũng như các ứng dụng thực tế như xác định phương, chiều, độ dài vectơ.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng của khái niệm

Giả sử trong hệ tọa độ Đề-các vuông góc, ta có hai điểm$A(x_A, y_A, z_A)$và $B(x_B, y_B, z_B)$. Vectơ $\vec{AB}$là vectơ bắt đầu từ điểm$A$và kết thúc tại điểm$B$.

Tọa độ của vectơ $\vec{AB}$ được xác định bởi công thức:

$\vec{AB} = (x_B-x_A,\y_B-y_A,\z_B-z_A)$

Nói cách khác, tọa độ của vectơ $\vec{AB}$chính là hiệu tọa độ của điểm$B$và điểm$A$tương ứng theo từng trục.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

• Bước 1: Xác định tọa độ hai điểm$A$và $B$.
• Bước 2: Áp dụng công thức:$\vec{AB} = (x_B-x_A,\y_B-y_A,\z_B-z_A)$.
• Bước 3: Tính toán từng thành phần.

Ví dụ: Cho$A(2, -1, 3)$và $B(5, 2, 6)$. Hãy xác định tọa độ vectơ $\vec{AB}$.

Giải:

Áp dụng công thức ta có:

Vậy$\vec{AB}$có tọa độ là $(3, 3, 3)$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Nếu$A$trùng$B$(x_A=x_B, y_A=y_B, z_A=z_B)$thì$\vec{AB} = (0,0,0)$(vectơ-không).
• Nếu$A$và $B$cùng nằm trên một trục toạ độ thì hai thành phần còn lại sẽ bằng 0, ví dụ:$A(0,0,0), B(4,0,0) \Rightarrow \vec{AB} = (4,0,0)$.
• Dấu của tọa độ vectơ phụ thuộc vào vị trí tương đối của hai điểm:$\vec{AB} = -\vec{BA}$.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

• Việc xác định tọa độ vector là tiền đề cho các bài toán liên quan đến quảng độ, cộng, trừ vectơ.
• Công thức xác định độ dài vectơ: $|\vec{AB}| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}$
• Tọa độ vectơ còn là nền tảng cho xác định phương trình đường thẳng, mặt phẳng trong không gian.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1:Cho$A(1,2,3)$,$B(4,0,5)$. Tìm tọa độ vectơ $\vec{BA}$.

Giải:

$\vec{BA} = (x_A-x_B, y_A-y_B, z_A-z_B) = (1-4, 2-0, 3-5) = (-3, 2, -2)$.

Bài tập 2:Cho$M(3,5,1)$và $N(-2,7,4)$. Tìm tọa độ vectơ $\vec{MN}$và $\vec{NM}$.

Giải:

$\vec{MN} = (-2-3,7-5,4-1) = (-5,2,3)$.

$\vec{NM} = (3-(-2),5-7,1-4) = (5,-2,-3) = -\vec{MN}$(hai vectơ đối nhau).

Bài tập 3:Cho các điểm$A(0,0,0), B(5,0,0), C(0,5,0)$. Tìm tọa độ vectơ $\vec{AC}$,$\vec{CB}$.

Giải:

$\vec{AC} = (0-0,5-0,0-0) = (0,5,0)$.

$\vec{CB} = (5-0,0-5,0-0) = (5,-5,0)$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhầm lẫn thứ tự lấy điểm đầu và điểm cuối trong công thức, dẫn đến tọa độ vectơ sai dấu.
• Tính thiếu hoặc thiếu dữ liệu (bỏ sót một thành phần toạ độ).
• Không kiểm tra xem hai điểm có trùng nhau (khi đó kết quả là vectơ-không, không có phương và chiều xác định).

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Tọa độ của vectơ $\vec{AB}$ được xác định dựa vào hiệu tọa độ của hai điểm:$\vec{AB} = (x_B-x_A, y_B-y_A, z_B-z_A)$.
• Áp dụng đúng thứ tự đầu-cuối khi xác định tọa độ vectơ.
• Biết sử dụng thành thạo để xử lý các bài toán về vectơ, đường thẳng, mặt phẳng.
• Luôn kiểm tra lại kết quả để phát hiện các lỗi dấu và nhập số liệu.

Hy vọng qua bài học này, các em sẽ nắm vững kiến thức về xác định tọa độ vectơ từ hai điểm và vận dụng tốt vào thực hành giải toán hình học không gian cũng như các lĩnh vực toán học liên quan.