Xác suất có điều kiện với bảng thống kê: Khái niệm, ví dụ và hướng dẫn giải bài tập cho lớp 12

1. Giới thiệu về xác suất có điều kiện với bảng thống kê

Xác suất có điều kiện với bảng thống kê là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình Toán lớp 12, đặc biệt ở chương VI - Xác suất và Thống kê. Khái niệm này giúp học sinh hiểu sâu hơn về cách xác định xác suất xảy ra của một sự kiện khi biết một thông tin bổ sung (điều kiện) đã xảy ra. Việc vận dụng bảng thống kê dữ liệu giúp đơn giản hóa bài toán xác suất, biến những con số thành thông tin rõ ràng, dễ phân tích. Đây là chủ đề xuất hiện nhiều trong các đề thi tốt nghiệp THPT và Đại học.

2. Định nghĩa xác suất có điều kiện

Cho hai biến cố $A$và $B$trên không gian mẫu$S$, với$P(B) > 0$,xác suất có điều kiện của$A$khi biết$B$đã xảy ra ký hiệu là$P(A|B)$, được định nghĩa bởi công thức:

$<br />P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}<br />$

Trong đó,$P(A \cap B)$là xác suất đồng thời xảy ra cả $A$và $B$, đồng thời$P(B)$là xác suất xảy ra của$B$. Khi sử dụng bảng thống kê, thông tin về số trường hợp tương ứng với mỗi biến cố sẽ được trình bày rõ ràng, giúp việc tính xác suất có điều kiện trở nên trực quan hơn.

3. Hướng dẫn từng bước giải bài toán xác suất có điều kiện với bảng thống kê

• Bước 1: Xác định tổng thể (tập hợp đoàn thể, tổng số đối tượng, v.v.).
• Bước 2: Lập bảng thống kê các trường hợp, phân loại theo các đặc điểm bài cho.
• Bước 3: Xác định các biến cố $A$,$B$và xác định cụ thể $A \cap B$là gì.
• Bước 4: Tìm số trường hợp ứng với$B$, và số trường hợp ứng với$A \cap B$dựa vào bảng.
• Bước 5: Tính xác suất có điều kiện P(A|B) = \frac{\text{số trường hợp xảy ra cả}A \cap B}{\text{số trường hợp xảy ra}B} .

4. Ví dụ minh họa với bảng thống kê

Ví dụ: Trong một lớp học có 40 học sinh, thống kê số học sinh nam và nữ theo kết quả kiểm tra như sau:

Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Gọi$A$: “học sinh đó đạt bài kiểm tra”,$B$: “học sinh đó là nam”.

Tìm xác suất để học sinh được chọn là nam và đạt bài kiểm tra ($P(A \cap B)$)?

=> Trong bảng, số học sinh là nam và đạt là 12, tổng số học sinh là 40.

$P(A \cap B) = \frac{12}{40} = 0,3$

Tìm xác suất để học sinh được chọn là nam ($P(B)$)? => Số học sinh nam là 18, tổng số là 40.$P(B) = \frac{18}{40} = 0,45$

Vậy xác suất để học sinh được chọn đạt bài kiểm tra, biết rằng đó là nam ($P(A|B)$):

$<br />P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{12/40}{18/40} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}<br />$

Như vậy, xác suất cần tìm là $\frac{2}{3}$.

5. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

• Nếu$P(B) = 0$thì $P(A|B)$không xác định (không có mẫu thử thỏa mãn$B$).
• Nếu$A$và $B$độc lập nhau thì$P(A|B) = P(A)$. Khi đó, việc biết$B$xảy ra không làm thay đổi xác suất của$A$.
• Hãy luôn xác định đúng tập hợp “tổng mẫu” khi đã có điều kiện$B$.

6. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Xác suất có điều kiện là nền tảng quan trọng cho nhiều khái niệm khác trong xác suất thống kê như Công thức xác suất đầy đủ, Công thức Bayes, tính độc lập của các biến cố, phân phối xác suất... Những công thức này cũng thường cần sử dụng hoặc phát biểu qua bảng thống kê trong các dạng bài thực tế, trắc nghiệm.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Một bảng thống kê cho biết số lượng học sinh theo giới tính và ban học ở khối 12 như sau:

Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Tính xác suất để học sinh đó là nam, biết rằng học sinh này học ban B.

Lời giải:

Gọi$A$: “Học sinh được chọn là nam”,$B$: “Học sinh học ban B”

Trong bảng, số học sinh học ban B là 20 (15 nam, 5 nữ)

$P(B) = \frac{20}{50} = 0,4$

Số học sinh vừa là nam vừa học ban B là 15

$P(A \cap B) = \frac{15}{50}=0,3$

Vậy xác suất cần tìm là:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,3}{0,4} = 0,75$

Bài tập 2: Cho bảng sau về kết quả thi của một lớp:

Chọn ngẫu nhiên một học sinh nữ. Tính xác suất để học sinh đó xếp loại khá.

Lời giải:

Gọi$A$: “Học sinh xếp loại khá”,$B$: “Học sinh là nữ”

Theo bảng, số học sinh nữ là 25

$P(B) = \frac{25}{45}$

Số học sinh vừa là nữ vừa xếp loại khá là 10

$P(A \cap B) = \frac{10}{45}$

Vậy xác suất:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{10/45}{25/45} = \frac{10}{25} = 0,4$

8. Các lỗi thường gặp và cách khắc phục

• Nhầm lẫn mẫu số khi tính xác suất có điều kiện: Khi đã biết điều kiện$B$, phải dùng tổng số trường hợp thỏa mãn$B$làm mẫu số, không dùng tổng số trường hợp toàn bộ.
• Chưa xác định rõ $A$,$B$,$A \cap B$trên bảng thống kê.
• Nhập sai số liệu từ bảng khi tổng hợp dữ liệu hoặc khi điền số liệu vào công thức.

9. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Xác suất có điều kiện ($P(A|B)$) cho biết xác suất xảy ra của$A$nếu biết$B$ đã xảy ra.
• Công thức:$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$($P(B) > 0$)
• Khai thác và xử lý số liệu qua bảng thống kê giúp giải bài tập trở nên nhanh, trực quan, chính xác.
• Luôn xác định đúng các biến cố và kiểm tra kĩ số liệu ở bảng thống kê.
• Thường xuyên luyện tập với các bài toán thực tế để thành thạo kỹ năng này.