Blog

Lớp 12

Xét tính đơn điệu bằng bảng xét dấu đạo hàm: Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 12

T
Tác giả
•
•6 phút đọc
Chia sẻ:
7 phút đọc

1. Giới thiệu khái niệm và tầm quan trọng của xét tính đơn điệu bằng bảng xét dấu đạo hàm

Trong chương trình Giải tích lớp 12, xét tính đơn điệu của hàm số là một kỹ năng quan trọng giúp học sinh hiểu sâu hơn về hàm số, vẽ đồ thị, xác định cực trị và giải phương trình bất phương trình. Một trong những phương pháp hiệu quả nhất để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số là sử dụng bảng xét dấu đạo hàm. Vậy bảng xét dấu đạo hàm là gì và tại sao nó lại cần thiết? Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn lời giải đáp chi tiết kèm ví dụ minh họa thực tiễn.

2. Định nghĩa xét tính đơn điệu bằng bảng xét dấu đạo hàm

Tính đơn điệu của hàm số bao gồm hai trường hợp:

  • Hàm số f(x)f(x)đồng biến trên một khoảng nếu với mọix1<x2x_1 < x_2trong khoảng đó thì f(x1)<f(x2)f(x_1) < f(x_2).
  • Hàm số f(x)f(x)nghịch biến trên một khoảng nếu với mọix1<x2x_1 < x_2trong khoảng đó thì f(x1)>f(x2)f(x_1) > f(x_2).

    • Để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, ta dựa vào dấu của đạo hàmf′(x)f'(x)trên các khoảng xác định.

    Cụ thể:

  • Nếuf′(x)>0f'(x) > 0trên khoảng nào thì f(x)f(x) đồng biến trên khoảng đó.
  • Nếuf′(x)<0f'(x) < 0trên khoảng nào thì f(x)f(x)nghịch biến trên khoảng đó.

    • Bảng xét dấu đạo hàm là một công cụ giúp ta phân tích dấu củaf′(x)f'(x)trên các khoảng, từ đó xác định được tính đơn điệu của hàm số.

    3. Các bước xét tính đơn điệu bằng bảng xét dấu đạo hàm (kèm ví dụ minh họa)

    Chúng ta sẽ lần lượt thực hiện các bước sau để xét tính đơn điệu của hàm số.

  • Bước 1. Xác định tập xác định của hàm số.
  • Bước 2. Tính đạo hàmf′(x)f'(x).
  • Bước 3. Giải phương trìnhf′(x)=0f'(x) = 0và xác định các điểm mà f′(x)f'(x)không xác định.
  • Bước 4. Lập bảng xét dấuf′(x)f'(x), xác định dấu trên từng khoảng, từ đó kết luận tính đồng biến, nghịch biến.
  • Bước 5. Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến; xác định cực trị (nếu có).

    • Ví dụ minh họa:

    Cho hàm số f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2trên\bbR\bbR. Xét tính đơn điệu củaf(x)f(x)bằng bảng xét dấu đạo hàm.

  • Bước 1: Tập xác định:D=\bbRD = \bbR.
  • Bước 2: Đạo hàm:f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x.
  • Bước 3: Giải3x2−6x=0⇔x(x−2)=0⇒x=0,x=23x^2 - 6x = 0 \Leftrightarrow x(x-2) = 0 \Rightarrow x = 0, x = 2.
  • Bước 4: Lập bảng xét dấu đạo hàm:
    - Chia trục số thành 3 khoảng(−∞,0)(-\infty, 0),(0,2)(0, 2),(2,+∞)(2, +\infty)
    - Xét dấuf′(x)f'(x)trên từng khoảng:
  • + Vớix<0x < 0,f′(x)=3x2−6x=3(x2−2x)>0f'(x) = 3x^2 - 6x = 3(x^2-2x) > 0vì x2>2xx^2 > 2xvớix<0x < 0.
    + Với0<x<20 < x < 2,f′(x)=3x2−6x=3[x(x−2)]f'(x) = 3x^2 - 6x = 3[x(x-2)]
    - Nếu0<x<20 < x < 2thì x>0x > 0,x−2<0x-2 < 0nênx(x−2)<0⇒f′(x)<0x(x-2) < 0 \Rightarrow f'(x) < 0.
    + Vớix>2x > 2,x>0x > 0,x−2>0⇒x(x−2)>0⇒f′(x)>0x-2 > 0 \Rightarrow x(x-2) > 0 \Rightarrow f'(x) > 0.

    • Bảng xét dấu: |xx|−2-2| 0 | 2 |+2+2|
    |--------|--------------|---------|---------|-------------|
    |f′(x)f'(x)| + | 0 | 0 | + |
    | | đồng biến | | nghịch biến | đồng biến |

    Kết luận: Hàm số đồng biến trên(−∞,0)(-\infty, 0)và (2,+∞)(2, +\infty); nghịch biến trên(0,2)(0, 2).

    4. Trường hợp đặc biệt và lưu ý khi xét tính đơn điệu

    Một số lưu ý khi xét tính đơn điệu bằng bảng xét dấu đạo hàm:

  • Nếu đạo hàm không xác định tại một điểm (ví dụ mẫu số bằng 0), hãy kiểm tra xem điểm đó có thuộc tập xác định của hàm số không. Nếu không, loại bỏ khỏi tập xác định.
  • Điểm mà f′(x)=0f'(x)=0hoặcf′(x)f'(x)không xác định là các điểm nghi ngờ cực trị (ứng với giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cục bộ).
  • Cần xét kỹ trên từng khoảng liên tục, đừng bỏ sót tập xác định!

    • 5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

    Xét tính đơn điệu của hàm số liên quan mật thiết đến các vấn đề:

  • Xác định cực trị (khif′(x)f'(x) đổi dấu).
  • Vẽ đồ thị hàm số.
  • Giải phương trình, bất phương trình.
  • Ứng dụng trong các bài toán thực tế như tối ưu (tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất).

    • 6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

    Bài tập 1: Xét tính đơn điệu của hàm số y=x−1x+2y = \frac{x-1}{x+2},x≠−2x \neq -2.

    Lời giải:

  • - Tập xác định: D=\bbR∖{−2}D = \bbR \setminus \{-2\}.
  • - Đạo hàm:y′=(x+2)⋅1−(x−1)⋅1(x+2)2=x+2−x+1(x+2)2=3(x+2)2y' = \frac{(x+2) \cdot 1 - (x-1) \cdot 1}{(x+2)^2} = \frac{x+2-x+1}{(x+2)^2} = \frac{3}{(x+2)^2}.
  • - Với mọix≠−2x \neq -2,y′>0y' > 0. Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

    • Kết luận: Hàm số đồng biến trên(−∞,−2)(-\infty, -2)và (−2,+∞)(-2, +\infty).

    Bài tập 2: Xét tính đơn điệu củay=ln⁡(x2+1)y = \ln(x^2+1)trên\bbR\bbR.

    Lời giải:

  • - Tập xác định:\bbR\bbR.
  • - Đạo hàm:y′=1x2+1⋅2x=2xx2+1y' = \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2+1}.
  • -y′=0⇔x=0y'=0 \Leftrightarrow x=0. Vớix<0x<0,y′<0y'<0;x>0x>0,y′>0y'>0.
  • - Kết luận: Hàm số nghịch biến trên(−∞,0)(-\infty, 0), đồng biến trên(0,+∞)(0, +\infty).

    • 7. Các lỗi thường gặp và cách tránh khi xét tính đơn điệu

  • - Quên xét tập xác định của hàm hoặc đạo hàm.
  • - Không phân biệt được điểm làm đạo hàm không xác định với điểm làm hàm số không xác định.
  • - Bỏ sót các khoảng hoặc xét thiếu các trường hợp đặc biệt.
  • - Đánh dấu sai dấu của đạo hàm trên các khoảng.

    • Cách tránh: Luôn bắt đầu bằng việc xác định tập xác định, giải kỹ phương trình đạo hàm bằng 0 và chú ý kiểm tra kỹ dấu của đạo hàm trên từng khoảng.

    8. Tóm tắt những điểm chính cần nhớ

  • Xét tính đơn điệu bằng bảng xét dấu đạo hàm là kiến thức nền tảng để học tốt Giải tích lớp 12.
  • Luôn xác định đúng tập xác định, đạo hàm và phân tích kỹ dấu của đạo hàm.
  • Hiểu rõ lý thuyết sẽ giúp vẽ đồ thị, giải bất phương trình, tìm cực trị chính xác và hiệu quả.
  • Kiểm tra kỹ các điểm làm đạo hàm hoặc hàm số không xác định để tránh sai sót.
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".