Xét tính đơn điều bằng bảng xét dấu đạo hàm lớp 12 - Học lý

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 12, “Xét tính đơn điều bằng bảng xét dấu đạo hàm” là kiến thức nền tảng cực kỳ quan trọng. Đây là công cụ giúp xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số – một nội dung trọng yếu trong các đề thi THPT quốc gia, kiểm tra học kỳ và ứng dụng vào thực tế. Nắm vững khái niệm này giúp học sinh không chỉ xử lý hiệu quả nhiều bài toán về hàm số, cực trị mà còn phát triển tư duy logic, kỹ năng lập luận và phân tích. Với hàng trăm bài tập miễn phí, bạn có thể luyện tập và làm chủ hoàn toàn kỹ năng này để đạt điểm cao trong mọi kỳ thi.

- Hiểu rõ cách xét đồng biến, nghịch biến giúp giải nhanh các bài toán về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, cực trị, xét tính đơn điệu trong thực tiễn.

- Sử dụng bảng xét dấu đạo hàm là kỹ năng nền tảng trong học Toán và các ngành Khoa học Tự nhiên.

Bạn có thể luyện tập Xét tính đơn điều bằng bảng xét dấu đạo hàm với 48.614+ bài tập miễn phí ngay tại đây!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa:Một hàm số $y = f(x)$ được gọi là đồng biến trên một khoảng nếu với mọi $x_1, x_2$ thuộc khoảng đó, $x_1 < x_2 \rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ . Tương tự, hàm số là nghịch biến nếu $x_1 < x_2 \rightarrow f(x_1) > f(x_2)$ .

Hình minh họa: Đồ thị minh họa hàm đồng biến y = x³ và hàm nghịch biến y = -x³ trên khoảng [-2,2], kèm ví dụ hai điểm x₁ = -1, x₂ = 1 cho thấy f(x₁) < f(x₂) với hàm đồng biến và f(x₁) > f(x₂) với hàm nghịch biến — Đồ thị minh họa hàm đồng biến y = x³ và hàm nghịch biến y = -x³ trên khoảng [-2,2], kèm ví dụ hai điểm x₁ = -1, x₂ = 1 cho thấy f(x₁) < f(x₂) với hàm đồng biến và f(x₁) > f(x₂) với hàm nghịch biến

• Định lý quan trọng:Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên $(a, b)$ và khả vi trên $(a, b)$ :

- Nếu $f'(x) > 0$ với mọi $x \in (a, b)$ thì $f(x)$ đồng biến trên $(a, b)$ .

- Nếu $f'(x) < 0$ với mọi $x \in (a, b)$ thì $f(x)$ nghịch biến trên $(a, b)$ .

• Điều kiện áp dụng: Hàm số phải liên tục, đạo hàm cấp 1 phải xác định trên khoảng muốn xét.

2.2 Công thức và quy tắc

• Công thức cần nhớ:

- Đạo hàm: $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

- Xét dấu $f'(x)$ để xác định chiều biến thiên của $f(x)$

• Mẹo ghi nhớ công thức: Hãy luyện tập nhiều bài dạng cơ bản để hiểu thật chắc quy tắc và lý do mỗi bước.

• Các biến thể:Đôi khi $f'(x)$ không xác định tại một số điểm, phải loại bỏ hoặc xem xét riêng những điểm này khi lập bảng.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Bài toán: Xét tính đơn điệu của hàm số $y = x^2 - 4x + 3$ trên $oxed{\mathbb{R}}$ .

Lời giải:

Bước 1: Tính đạo hàm: $y' = (x^2 - 4x + 3)' = 2x - 4$

Bước 2: Giải $y' = 0 \Rightarrow 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$

Bước 3: Lập bảng xét dấu đạo hàm (chia trục số thành các khoảng dựa vào nghiệm $x=2$ ):

Bước 4: Xét dấu:

+ Với $x<2$ : $y' = 2x - 4 < 0$ nên hàm số nghịch biến.

+ Với $x>2$ : $y' = 2x - 4 > 0$ nên hàm số đồng biến.

Hình minh họa: Biểu đồ hàm số y = x² - 4x + 3 phân biệt rõ khoảng nghịch biến (x<2) và đồng biến (x>2), đánh dấu điểm cực tiểu tại (2, -1) và bảng xét dấu đạo hàm y'=2x-4 trên trục số — Biểu đồ hàm số y = x² - 4x + 3 phân biệt rõ khoảng nghịch biến (x<2) và đồng biến (x>2), đánh dấu điểm cực tiểu tại (2, -1) và bảng xét dấu đạo hàm y'=2x-4 trên trục số

Kết luận: Hàm số nghịch biến trên $(-\infty;2)$ , đồng biến trên $(2;+\infty)$ , đạt cực tiểu tại $x=2$ .

3.2 Ví dụ nâng cao

Bài toán: Xét tính đơn điệu của hàm số $y = \frac{x+1}{x-2}$ trên $\mathbb{R} \backslash \{2\}$ .

Bước 1: Tính đạo hàm bằng quy tắc thương: $y' = \frac{(x-2) \cdot 1 - (x+1) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{x-2 - x - 1}{(x-2)^2} = \frac{-3}{(x-2)^2}$

Bước 2: Vì $(x-2)^2 > 0$ mọi $x \ne 2$ , nên $y' < 0$ với mọi $x \ne 2$ .

Bước 3: Kết luận: Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định $(-\infty,2)$ và $(2,+\infty)$ .

Hình minh họa: Đồ thị hàm số y = (x+1)/(x-2) và các tiếp tuyến tại x=1,4 minh họa công thức đạo hàm y' = -3/(x-2)² < 0, cho thấy hàm nghịch biến trên (-∞,2) và (2,+∞) — Đồ thị hàm số y = (x+1)/(x-2) và các tiếp tuyến tại x=1,4 minh họa công thức đạo hàm y' = -3/(x-2)² < 0, cho thấy hàm nghịch biến trên (-∞,2) và (2,+∞)

Lưu ý: Để làm nhanh, hãy nhận diện quy tắc dấu trong các phân thức, chú ý điểm loại khỏi tập xác định!

Hình minh họa: Bảng xét dấu đạo hàm của hàm số với nghiệm f'(x)=0 tại x=2, chia trục số thành hai khoảng (-∞,2) và (2,∞) và đánh dấu f'(x)<0 ở bên trái, f'(x)>0 ở bên phải — Bảng xét dấu đạo hàm của hàm số với nghiệm f'(x)=0 tại x=2, chia trục số thành hai khoảng (-∞,2) và (2,∞) và đánh dấu f'(x)<0 ở bên trái, f'(x)>0 ở bên phải

4. Các trường hợp đặc biệt

- Đạo hàm tồn tại nhưng bằng 0 trên một khoảng: Hàm số không tăng/không giảm trên đó.

- Đạo hàm không xác định tại một số điểm: Loại khỏi tập xác định hoặc xét riêng rẽ.

- Thường gặp trong hàm phân thức, căn thức, giá trị tuyệt đối...

Ngoài ra, khái niệm còn liên quan chặt chẽ với bài toán tìm cực trị, xác định giới hạn, xét tính liên tục của hàm số. Hãy so sánh dấu đạo hàm với tính chất lớn nhất - nhỏ nhất để vận dụng lồng ghép khi cần!

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm đồng biến/nghịch biến với cực trị.

- Không phân biệt điểm không xác định với điểm đạo hàm bằng 0.

- Ghi nhớ: Chỉ lập bảng xét dấu trên khoảng xác định của hàm số.

5.2 Lỗi về tính toán

- Tính sai đạo hàm, đặc biệt với hàm phân thức, căn thức.

- Lập bảng xét dấu sai dấu $f'(x)$ tại các khoảng.

- Quên loại bỏ điểm không xác định khi vẽ bảng.

Phương pháp kiểm tra: Lấy một giá trị $x$ bất kỳ trong mỗi khoảng chia, tính $f'(x)$ để xác minh dấu cho chắc chắn.

6. Luyện tập miễn phí ngay

- Truy cập 48.614+ bài tập Xét tính đơn điều bằng bảng xét dấu đạo hàm miễn phí.

- Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức.

- Theo dõi tiến độ, kiểm tra kết quả và cải thiện kỹ năng từng ngày.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Tính đơn điệu của hàm số được xác định bởi dấu của đạo hàm $f'(x)$ trên các khoảng xác định.

- Lập bảng xét dấu đạo hàm đầy đủ, loại các điểm không xác định.

- Ghi nhớ các lỗi thường gặp để tránh mất điểm trong các kỳ thi.

Checklist ôn tập:
- Nắm chắc định nghĩa đồng biến/nghịch biến
- Thành thạo cách tìm và lập bảng xét dấu đạo hàm
- Biết phát hiện và loại điểm không xác định
- Luyện giải tối thiểu 5 ví dụ cơ bản và 5 ví dụ phân thức/căn thức nâng cao
- Luôn kiểm tra lại kết quả cuối cùng!

Chúc bạn học thật tốt và tiến bộ vượt bậc với công cụ luyện tập Xét tính đơn điều bằng bảng xét dấu đạo hàm miễn phí!

Blog

Xét tính đơn điều bằng bảng xét dấu đạo hàm: Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

2.2 Công thức và quy tắc

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

3.2 Ví dụ nâng cao

4. Các trường hợp đặc biệt

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

5.2 Lỗi về tính toán

6. Luyện tập miễn phí ngay

7. Tóm tắt và ghi nhớ

Có thắc mắc về bài viết?

Chưa có câu hỏi nào

Danh mục:

Thẻ:

Tác giả

Liên hệ

Pháp lý

Blog

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

2.2 Công thức và quy tắc

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

3.2 Ví dụ nâng cao

4. Các trường hợp đặc biệt

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

5.2 Lỗi về tính toán

6. Luyện tập miễn phí ngay

7. Tóm tắt và ghi nhớ

Có thắc mắc về bài viết?

Chưa có câu hỏi nào

Danh mục:

Thẻ:

Tác giả

Liên hệ

Pháp lý

Theo dõi chúng tôi tại

Nhận thông tin mới nhất về chúng tôi