Giới thiệu

Trong chương trình Giải tích lớp 12, việc xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số là một nội dung quan trọng giúp học sinh hiểu sâu về mô hình hóa và phân tích hàm số. Phương pháp dựa vào đạo hàm cấp 1 không chỉ đơn giản mà còn trực quan, giúp xác định khoảng tăng giảm của hàm số thông qua dấu của đạo hàm. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn hướng dẫn chi tiết, dễ hiểu về cách xét tính đồng biến, nghịch biến bằng đạo hàm cấp 1, kèm theo ví dụ minh họa và bài tập mẫu có lời giải.

Định nghĩa tính đồng biến và nghịch biến của hàm số

Giả sử hàm số $f$xác định trên khoảng$I$. Chúng ta nói rằng:

• Hàm số đồng biếntrên$I$nếu với mọi$x_1, x_2 \in I$và $x_1 < x_2$thì $f(x_1) \le f(x_2)$.

• Hàm số nghịch biếntrên$I$nếu với mọi$x_1, x_2 \in I$và $x_1 < x_2$thì $f(x_1) \ge f(x_2)$.

Phương pháp xét dựa vào đạo hàm cho ta định lý sau:

Nếu hàm số $f$liên tục trên$I$và khả vi trên$\,\mathrm{int}(I)$thì:

• Nếu$f'(x) \ge 0$với mọi$x \in \mathrm{int}(I)$, thì $f$ đồng biến trên$I$.

• Nếu$f'(x) \le 0$với mọi$x \in \mathrm{int}(I)$, thì $f$nghịch biến trên$I$.

Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Bước 1: Tính đạo hàm$f'(x)$.

Bước 2: Giải bất phương trình$f'(x) >0$và $f'(x)<0$ để tìm các khoảng ứng với dấu của đạo hàm.

Bước 3: Xác định bảng biến thiên, ghi dấu của$f'(x)$và tính đồng biến/nghịch biến.

Ví dụ 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $f(x)=x^2-4x+3$trên$\mathbb{R}$.

1. Tính$f'(x)=2x-4$.

2. Giải$2x-4>0 \Rightarrow x>2$; giải$2x-4<0 \Rightarrow x<2$.

3. Bảng biến thiên:

• Trên$(-\infty,2)$:$f'(x)<0 \Rightarrow$nghịch biến.

• Trên$(2,+\infty)$:$f'(x)>0 \Rightarrow$ đồng biến.

Kết luận:$f$nghịch biến trên$(-\infty,2)$và đồng biến trên$(2,+\infty)$.

Ví dụ 2: Xét hàm số $f(x)=x^3-3x$trên$\mathbb{R}$.

1.$f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)$.

2. Giải$3(x^2-1)>0 \Rightarrow x^2>1 \Rightarrow x<-1$hoặc$x>1$; và $3(x^2-1)<0 \Rightarrow -1<x<1$.

3. Kết quả:

•$f'(x)>0$trên$(-\infty,-1) \cup (1,+\infty)$: đồng biến.

•$f'(x)<0$trên$(-1,1)$: nghịch biến.

Vẽ sơ đồ biến thiên giúp trực quan.

Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

1. Điểm đạo hàm bằng 0:$f'(x_0)=0$có thể là điểm cực đại, cực tiểu hoặc điểm yên ngựa. Cần kiểm tra dấu đổi của$f'(x)$trước và sau$x_0$.

2. Điểm không xác định đạo hàm: Nếu$f'(x)$không xác định tại$x_0$nhưng$f$liên tục, có thể xét dấu$f'(x)$hai bên để xác định chiều biến thiên.

3. Khoảng xác định nhiều đoạn rời rạc: Xét riêng từng đoạn, không xét các điểm không thuộc miền xác định.

Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

• Liên quan đến cực trị: Điểm đổi dấu của$f'(x)$kết hợp với bảng biến thiên cho ta vị trí và giá trị cực đại, cực tiểu.

• Ứng dụng trong khảo sát hàm số: Xác định đồng biến, nghịch biến là bước cơ bản trước khi vẽ đồ thị.

• Kết hợp với đạo hàm cấp cao hơn: Phân tích điểm yên ngựa, tính tốc độ biến thiên và độ lồi lõm.

Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $f(x)=\frac{x+1}{x-2}$trên từng khoảng xác định.

Lời giải:

• Tập xác định:$x<br>eq2$.

•$f'(x)=\frac{(1)(x-2)-(x+1)(1)}{(x-2)^2}=\frac{-3}{(x-2)^2}$.

• Dấu$f'(x)<0$với mọi$x<br>eq2$. Vậy hàm nghịch biến trên$(-\infty,2)$và $(2,+\infty)$.

Bài tập 2: Xét tính đồng biến, nghịch biến của$f(x)=\ln(x^2+1)$trên$\mathbb{R}$.

Lời giải:

•$f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}$.

• Giải$2x/(x^2+1)>0 \Rightarrow x>0$;$<0 \Rightarrow x<0$.

• Kết luận: đồng biến trên$(0,+\infty)$, nghịch biến trên$(-\infty,0)$.

Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhầm lẫn dấu của đạo hàm: Luôn kiểm tra kỹ phép tính đạo hàm trước khi xét dấu.

• Bỏ sót điểm không xác định: Với phân thức, cần ghi rõ tập xác định và không xét các điểm loại trừ.

• Không kiểm tra dấu quanh điểm$f'(x)=0$: Dẫn tới nhận định sai về chiều biến thiên.

Tóm tắt và điểm chính cần nhớ

1. Tính$f'(x)$và giải bất phương trình$f'(x)>0$,$f'(x)<0$.

2. Xác định các khoảng hàm đồng biến hoặc nghịch biến dựa vào dấu của$f'(x)$.

3. Lưu ý điểm đạo hàm bằng 0 và điểm không xác định.

4. Ứng dụng vào khảo sát toàn diện hàm số và giải các bài toán tối ưu.