Xét tính đồng biến, nghịch biến bằng đạo hàm cấp 1 – Giải thích chi tiết cho lớp 12

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Xét tính đồng biến, nghịch biến bằng đạo hàm cấp 1 là một phần kiến thức rất quan trọng trong chương trình toán lớp 12, đặc biệt thuộc chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Việc xác định hàm số đồng biến hay nghịch biến giúp chúng ta biết được khoảng nào hàm số tăng, giảm – đây là nền tảng để giải quyết các bài toán khảo sát hàm số, tìm cực trị và tối ưu hóa trong thực tiễn.

Hiểu rõ khái niệm này giúp bạn phân tích sâu hơn về đồ thị hàm số, vận dụng linh hoạt vào nhiều dạng bài tập trong học tập, luyện thi tốt nghiệp THPT Quốc gia. Ngoài ra, trong thực tế, việc xác định xu hướng tăng/giảm (đồng biến/nghịch biến) còn ứng dụng trong các lĩnh vực: Kinh tế, Vật lý, Sinh học, ... để nghiên cứu sự thay đổi của các đại lượng.

Trên website của chúng tôi, bạn có thể luyện tập 42.226+ bài tập Xét tính đồng biến, nghịch biến bằng đạo hàm cấp 1 miễn phí để thành thạo kỹ năng này, hoàn toàn không cần đăng ký.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa:
• Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng$I$nếu$orall x_1, x_2 \ \in I, x_1 < x_2$thì $f(x_1) < f(x_2)$. Hàm số nghịch biến nếu$f(x_1) > f(x_2)$.

• Liên hệ với đạo hàm:
• Nếu$f'(x) > 0$với mọi$x$trên khoảng$I$, thì $f(x)$ đồng biến trên$I$. Ngược lại, nếu$f'(x) < 0$,$f(x)$nghịch biến trên$I$.

• Bản xét dấu đạo hàm:
• Dựa vào dấu hiệu của$f'(x)$ để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến.

• Điều kiện áp dụng:
• Hàm số phải có đạo hàm trên khoảng đang xét và đạo hàm đó liên tục.

2.2 Công thức và quy tắc

• Công thức nhận biết tính đồng biến, nghịch biến:
• -$f'(x) > 0$trên$I$o$f(x)$ đồng biến trên$I$
• -$f'(x) < 0$trên$I$o$f(x)$nghịch biến trên$I$

• Quy tắc ghi nhớ:
• "Dương – đồng biến, âm – nghịch biến".

• Điều kiện dùng công thức:
• Chỉ xét trên khoảng mà hàm số có đạo hàm, tránh nhầm lẫn tại điểm không xác định hoặc không liên tục.

• Biến thể công thức:
• Nếu$f'(x) = 0$tại một số điểm riêng lẻ, đó có thể là các điểm cực trị; phải xét kỹ dấu của đạo hàm hai bên điểm đó.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho hàm số $y = x^2 - 6x + 5$. Hãy xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên$\mathbb{R}$.

Bước 1: Tính đạo hàm$f'(x) = 2x - 6$.

Bước 2: Giải$f'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 3$.

Bước 3: Lập bảng xét dấu đạo hàm:

- Với$x < 3$:$f'(x) < 0 \to$hàm nghịch biến.

- Với$x > 3$:$f'(x) > 0 \to$hàm đồng biến.

Bước 4: Kết luận: Hàm số nghịch biến trên$(-\infty, 3)$, đồng biến trên$(3, +\infty)$.

Lưu ý: Không xét tại$x=3$vì $f'(3) = 0$– đây có thể là điểm cực trị.

3.2 Ví dụ nâng cao

Cho hàm số $y = \frac{x+1}{x-2}$($x \neq 2$). Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Bước 1: Đạo hàm$f'(x) = \frac{(x-2) \cdot 1 - (x+1) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{x-2 - x - 1}{(x-2)^2} = \frac{-3}{(x-2)^2}$.

Bước 2: Nhận xét:$(x-2)^2 > 0$với mọi$x \neq 2$nên$f'(x) < 0$với mọi$x \neq 2$.

Bước 3: Kết luận: Hàm số nghịch biến trên từng khoảng$(-\infty,2)$và $(2, +\infty)$.

Kỹ thuật nhanh: Quan sát đạo hàm luôn âm nên không cần lập bảng dấu phức tạp.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Hàm số không xác định tại một số điểm (ví dụ: mẫu số bằng 0).
• Tại điểm$x_0$mà $f'(x_0) = 0$, cần xét kỹ dấu của$f'(x)$hai bên$x_0$ để xác định cực trị và tính đơn điệu.
• Nếu$f'(x)$ đổi dấu khi qua$x_0$thì $x_0$là điểm cực trị (cực đại, cực tiểu).
• Nếu$f'(x) = 0$trên cả khoảng thì hàm số hằng.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Nhầm giữa đồng biến và nghịch biến (quên quy tắc dấu đạo hàm).
• Không xét đến miền xác định của hàm số.
• Lẫn lộn với các khái niệm: cực trị, điểm không xác định, ...

Cách tránh: Đánh dấu rõ khoảng xác định, nhớ kỹ quy tắc dấu đạo hàm (dương – đồng biến, âm – nghịch biến).

5.2 Lỗi về tính toán

• Tính sai đạo hàm.
• Giải sai bất phương trình khi lập bảng xét dấu.
• Lập sai bảng biến thiên.

Phương pháp kiểm tra:Sau khi tính đạo hàm, thay một vài giá trị kiểm tra dấu của$f'(x)$.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Hãy truy cập bộ bài tập 42.226+ bài luyện tập Xét tính đồng biến, nghịch biến bằng đạo hàm cấp 1 miễn phí trên trang của chúng tôi. Không cần đăng ký tài khoản, bạn có thể bắt đầu ngay! Sau mỗi bài, hệ thống sẽ giúp bạn theo dõi tiến độ học tập và đề xuất các kỹ năng cần cải thiện.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Điểm chính: Sử dụng đạo hàm cấp 1 để xét tính đồng biến, nghịch biến dựa vào dấu của đạo hàm trên mỗi khoảng xác định.
• Ghi nhớ: “Dương – đồng biến, âm – nghịch biến”.
• Luôn chú ý miền xác định của hàm và dấu đạo hàm quanh các điểm đặc biệt.

Checklist kiến thức trước khi làm bài:

• Nắm vững công thức đạo hàm cơ bản.
• Biết xác định miền xác định của hàm số.
• Thành thạo lập bảng xét dấu đạo hàm.
• Sử dụng thành thạo các quy tắc xét dấu.

Kế hoạch ôn tập hiệu quả: Xem lại lý thuyết – luyện bài mẫu – làm bài tập tự luyện – tra cứu đáp án – sửa lỗi sai.