1. Giới thiệu về bài toán rút gọn phân số và ý nghĩa thực tiễn

Rút gọn phân số là một kỹ năng cơ bản, nền tảng không chỉ trong chương trình toán lớp 5 mà còn cho suốt quá trình học toán sau này. Bài toán này giúp học sinh nhận biết và làm việc với phân số ở hình thức đơn giản nhất, từ đó vận dụng dễ dàng vào các phép toán như cộng, trừ, nhân, chia phân số hoặc giải các bài toán có chứa phân số trong thực tiễn. Biết rút gọn phân số còn giúp học sinh phát triển tư duy logic, khả năng tìm ước chung lớn nhất và hiểu sâu hơn về quan hệ chia hết của các số tự nhiên.

2. Đặc điểm của bài toán rút gọn phân số

Rút gọn phân số là dạng bài toán giúp đưa một phân số về dạng tối giản (hay còn gọi là phân số tối thiểu), tức là tử số và mẫu số không còn ước chung nào lớn hơn 1. Đặc điểm chính:

• Tử số và mẫu số là hai số tự nhiên.
• Phân số phải đưa về dạng mà tử số và mẫu số không còn chia đồng thời cho một số nào lớn hơn 1.
• Có thể sử dụng ước chung lớn nhất (ƯCLN) để rút gọn nhanh.
• Thường sử dụng nhiều trong phép tính phân số, so sánh phân số, hoặc biến đổi biểu thức.

3. Chiến lược tổng thể giải bài toán rút gọn phân số

Để giải hiệu quả bài toán "rút gọn phân số", học sinh cần nắm vững quy trình sau:

1. Tìm tất cả các ước chung của tử số và mẫu số.
2. Xác định ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai số.
3. Chia cả tử số và mẫu số cho ƯCLN.
4. Kiểm tra lại phân số mới đã tối giản chưa (tử số và mẫu số không còn ước chung lớn hơn 1).

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Hãy cùng thực hành từng bước giải bằng ví dụ cụ thể:

Ví dụ: Rút gọn phân số $\frac{18}{24}$

1. Bước 1: Tìm ƯCLN của 18 và 24.
2. Các ước của 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Các ước của 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Ước chung lớn nhất là 6.
3. Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho 6.
4. $\frac{18}{24}:6 = \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}$
5. Bước 3: Kiểm tra lại. 3 và 4 không còn ước chung nào ngoài 1, vậy$\frac{3}{4}$là phân số tối giản.

Một số ví dụ tương tự:

• $\frac{10}{25} \to \frac{2}{5}$(Chia cả tử và mẫu cho 5)
• $\frac{42}{56} \to \frac{3}{4}$(Chia cả tử và mẫu cho 14)
• $\frac{27}{36} \to \frac{3}{4}$(Chia cả tử và mẫu cho 9)

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Muốn rút gọn phân số $\frac{a}{b}$, ta tìm ƯCLN của$a$và $b$là $d$, sau đó:$\frac{a}{b} = \frac{a \div d}{b \div d}$
• Phân số tối giản là phân số mà tử số và mẫu số chỉ còn ước chung là 1.
• Áp dụng thuật toán tìm ƯCLN bằng cách chia liên tiếp (Euclid): Nếu$a > b$,$a = b \times q + r$thì $\text{ƯCLN}(a, b) = \text{ƯCLN}(b, r)$.

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

Bài toán rút gọn phân số có thể xuất hiện dưới nhiều dạng:

• Phân số chứa các phép tính trước khi rút gọn: Cần tính toán xong rồi mới rút gọn.
• Nhiều phân số: Cần rút gọn từng phân số riêng lẻ hoặc sau khi thực hiện phép cộng/trừ/nhân/chia.
• Phân số có thể là kết quả của biểu thức đối xứng hoặc lồng ghép.

Chiến lược cần điều chỉnh là luôn luôn tính toán, xét tử số và mẫu số cuối cùng, rồi mới áp dụng kỹ năng rút gọn.

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: Rút gọn phân số $\frac{36}{60}$.

1. Tìm ƯCLN của 36 và 60. Các ước chung: 1, 2, 3, 6, 12.
2. ƯCLN là 12.
3. Chia cả tử và mẫu cho 12:$\frac{36 \div 12}{60 \div 12} = \frac{3}{5}$
4. Vậy$\frac{3}{5}$là phân số tối giản.

Bài tập 2: Rút gọn phân số $\frac{45}{75}$.

1. ƯCLN của 45 và 75 là 15.
2. Chia cả tử và mẫu cho 15:$\frac{45 \div 15}{75 \div 15} = \frac{3}{5}$
3. Vậy kết quả là $\frac{3}{5}$.

Bài tập 3: Rút gọn rồi so sánh hai phân số $\frac{8}{12}$và $\frac{18}{27}$.

1. Rút gọn$\frac{8}{12}$: ƯCLN là 4$\to \frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3}$.
2. Rút gọn$\frac{18}{27}$: ƯCLN là 9$\to \frac{18 \div 9}{27 \div 9} = \frac{2}{3}$.
3. Vậy hai phân số bằng nhau.

8. Bài tập thực hành (tự làm)

Hãy tự luyện tập các bài sau, thực hiện đầy đủ các bước tìm ƯCLN, rút gọn từng phân số và kiểm tra lại kết quả:

• Rút gọn các phân số sau:

• $\frac{21}{35}$
• $\frac{32}{40}$
• $\frac{60}{72}$
• $\frac{24}{54}$

Hãy kiểm tra kỹ từng bước, đối chiếu với đáp án sau khi hoàn thành.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm khi rút gọn phân số

• Luôn tìm ƯCLN để đảm bảo rút gọn đúng và nhanh nhất.
• Không được chia tử số và mẫu số cho các số khác nhau cùng lúc (chỉ chia cho cùng một số để phân số không thay đổi giá trị).
• Kiểm tra kỹ các phép chia, tránh bị nhầm lẫn khi rút gọn nhiều lần.
• Sau khi rút gọn, kiểm tra lại xem tử số và mẫu số còn ước chung nào lớn hơn 1 không.
• Ghi nhớ công thức, các bước, và luyện tập thật nhiều để thuần thục kỹ năng rút gọn.