Chiến lược giải Bài 11: Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó - Toán lớp 5

1. Giới thiệu về dạng bài toán

Dạng toán "Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó" là một trong những bài toán quan trọng thuộc chương số học lớp 5. Nội dung bài toán xoay quanh việc xác định hai số tự nhiên khi đã biết hiệu và tỉ số của chúng. Dạng này rất phổ biến trong đề kiểm tra, thi học kỳ với tần suất cao, giúp củng cố kĩ năng lập luận, tư duy và vận dụng công thức giải nhanh các bài toán có lời văn. Việc hiểu rõ cách giải bài toán này sẽ giúp các em tự tin đạt điểm tối đa và vận dụng thành thạo ở nhiều bài toán thực tiễn. Bạn có thể luyện tập miễn phí với hơn 42.226+ bài tập trực tuyến ngay tại đây.

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

- Dấu hiệu: Đề bài luôn cho biết rõ hiệu của hai số và tỉ số ("tỉ số của số lớn và số bé là..." hoặc "số lớn gấp mấy lần số bé").

- Từ khóa: "hiệu", "tỉ số", "tìm hai số", "số lớn", "số bé".

- Phân biệt: Khác với dạng biết tổng - tỉ số hoặc hiệu - tổng, bài này chỉ cung cấp hiệu và tỉ số.

2.2 Kiến thức cần thiết

- Công thức giải nhanh:

+ Gọi số bé là $x$, số lớn là $y$(với$y > x$), tỉ số $\frac{y}{x} = k$($k > 1$), hiệu$y - x = a$.
+ Từ đó, suy ra:$y = kx$và $y - x = a$.
+ Giải hệ:$y - x = a$,$y = kx$.
+ Thay$y = kx$vào ta được:$kx - x = a \Rightarrow x(k - 1) = a \Rightarrow x = \frac{a}{k-1}$. Sau đó,$y = kx$.

- Kĩ năng: Giải hệ phương trình đơn giản, biến đổi tỉ số, tính toán chính xác.

- Mối liên hệ: Dạng bài liên quan đến các kiến thức về tỉ số, chia tỉ lệ, bài toán chuyển động…

3. Chiến lược giải quyết tổng thể

3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

- Đọc kỹ từng dữ kiện, gạch chân các từ khóa "hiệu", "tỉ số", "tìm hai số".

- Xác định số lớn, số bé, hiệu ($a$), tỉ số ($k$), yêu cầu cần tìm.

3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

- Chọn phương pháp cơ bản: đặt số bé là $x$, số lớn là $k x$, sử dụng hiệu để lập phương trình.

- Xác định thứ tự các bước: đặt ẩn, lập phương trình, giải tìm số bé, từ đó suy ra số lớn.

- Ước lượng kết quả dựa trên các số liệu đề bài để kiểm tra sau khi giải.

3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

- Áp dụng công thức$x = \frac{a}{k-1}$để tìm số bé; số lớn là$k x$.

- Tính toán từng bước, kiểm tra lại bằng cách lấy hiệu và tỉ số kết quả xem đúng không.

4. Các phương pháp giải chi tiết

4.1 Phương pháp cơ bản

- Tiếp cận truyền thống: Đặt ẩn, lập phương trình theo tỉ số và hiệu.

- Ưu điểm: Dễ hiểu, phù hợp mọi học sinh, dễ kiểm tra kết quả.

- Hạn chế: Cần tính toán cẩn thận, dễ nhầm lẫn nếu không đặt đúng ẩn cho số lớn/số bé.

4.2 Phương pháp nâng cao

- Kỹ thuật giải nhanh: Nhớ công thức$x = \frac{a}{k-1}$để tính nhanh số bé, số lớn là$k x$.

- Tối ưu hóa tính toán: Sử dụng phép nhân, chia nhanh với các số tròn.

- Mẹo ghi nhớ: Luôn kiểm tra hiệu giữa số lớn và số bé, và tỉ số trước khi kết luận.

5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

5.1 Bài tập cơ bản

Đề bài: Hiệu của hai số là 24. Tỉ số của hai số đó là $\frac{5}{3}$(số lớn: số bé). Tìm hai số đó.

Phân tích: Số lớn gấp$\frac{5}{3}$lần số bé. Hiệu là 24.

Lời giải:
Gọi số bé là $x$, số lớn là $y = \frac{5}{3}x$.
Hiệu:$y - x = 24$.
Thay$y$vào:
$\frac{5}{3}x - x = 24 \Rightarrow \frac{2}{3}x = 24 \Rightarrow x = 24: (2/3) = 24 \times \frac{3}{2} = 36$
Số bé là $36$. Số lớn:$y = \frac{5}{3} \times 36 = 60$.
Đáp số: Số bé $36$, số lớn$60$.

Giải thích: Lấy tỉ số trừ 1 để tính số phần hiệu, sau đó chia hiệu cho số phần hiệu.

5.2 Bài tập nâng cao

Đề bài: Hiệu của hai số là 42. Tỉ số của số lớn với số bé là $7: 2$. Tìm hai số đó bằng hai cách khác nhau.

Cách 1 (theo phương pháp cơ bản):
Gọi số bé là $x$, số lớn là $7/2 x$.
$7/2 x - x = 42 \Rightarrow (7/2 - 1)x = 42 \Rightarrow (5/2)x = 42 \Rightarrow x = 42: (5/2) = 42 \times \frac{2}{5} = 16.8$(không phải số nguyên, cần kiểm tra lại tỉ số). Sửa lại: đặt số bé là $2$phần, số lớn là $7$phần, hiệu là $5$phần$\Rightarrow 1$phần$= 42 \div 5 = 8,4$. Không cho số nguyên, bài này muốn làm việc với số không nguyên.
Cách 2 (áp dụng công thức):$x = \frac{a}{k-1}$. Tỉ số $k = 7/2$.
$x = \frac{42}{7/2 - 1} = \frac{42}{5/2} = 42 \times \frac{2}{5} = 16.8$.
Số bé:$16.8$, số lớn:$16.8 \times 7/2 = 58.8$.

Nhận xét: Khi tỉ số không phải số nguyên, có thể cho kết quả là số thập phân.

6. Các biến thể thường gặp

- Dạng cho tỉ số là "gấp mấy lần", "nhiều hơn", "kém hơn".

- Dạng cho biết hiệu nhưng mô tả tỉ số dạng rút gọn (ví dụ: tỉ số $3:1$,$5:2$).

- Dạng ẩn dụ: "số tôi nghĩ đến nhiều hơn bạn 24 và gấp đôi số của bạn".

- Điều chỉnh chiến lược: Luôn quy về dạng hiệu – tỉ số để xử lý bằng công thức.

- Mẹo: Đọc kỹ các từ "kém", "hơn", "gấp... lần", "tỉ số" để xác định đúng số lớn/số bé.

7. Lỗi phổ biến và cách tránh

7.1 Lỗi về phương pháp

- Đặt sai ẩn, nhầm số lớn/số bé.

- Áp dụng sai công thức, nhầm tỉ số.

- Khắc phục: Luyện cách đặt ẩn, kiểm tra dữ liệu thật kỹ trước khi tính.

7.2 Lỗi về tính toán

- Sai phép chia, phép nhân (đặc biệt với phân số).

- Làm tròn số không cần thiết khi bài chưa yêu cầu.

- Luôn kiểm tra lại kết quả bằng cách thế ngược trở lại đề bài.

8. Luyện tập miễn phí ngay

- Truy cập 42.226+ bài tập cách giải Bài 11. Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó miễn phí.

- Không cần đăng ký, luyện tập ngay lập tức.

- Theo dõi tiến độ, đánh giá sự tiến bộ qua từng bài.

9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

- Tuần 1: Ôn lý thuyết, giải 10 bài cơ bản.

- Tuần 2: Thực hành các bài nâng cao, luyện tập biến thể.

- Tuần 3: Thi thử, tự kiểm tra và sửa lỗi.

- Đặt mục tiêu hoàn thành 100% bài tập, liên tục kiểm tra tiến bộ.