Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số: Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 5

I. Giới thiệu về "Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số" và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 5, các em sẽ làm quen với dạng toán "Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số". Đây là một trong những dạng toán cơ bản, quan trọng giúp các em rèn luyện khả năng suy luận, tư duy logic và áp dụng các phép tính cộng, trừ, nhân, chia trong thực tế. Dạng toán này thường xuyên xuất hiện trong đề kiểm tra và cũng là kiến thức nền tảng cho môn Toán ở các lớp tiếp theo. Khi hiểu rõ phương pháp giải bài toán này, các em sẽ dễ dàng giải quyết nhiều dạng toán nâng cao hơn.

II. Định nghĩa chính xác "Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số"

Bài toán kiểu "Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số" là dạng toán có nội dung: Cho biết hiệu của hai số (số lớn trừ số bé) và tỉ số của hai số đó, yêu cầu xác định giá trị của từng số.

Cụ thể: Gọi số lớn là $A$, số bé là $B$, biết hiệu$A - B = h$và tỉ số $\frac{A}{B} = k$với$k > 1$.

III. Phương pháp giải từng bước (kèm ví dụ minh họa)

Để giải bài toán này, ta thường thực hiện các bước sau:

1. Bước 1: Gọi số lớn là $A$, số bé là $B$. Theo bài toán, ta có hai điều kiện:
   -$A - B = h$
   -$\frac{A}{B} = k$
2. Bước 2: Biểu diễn$A$theo$B$:$A = k \times B$.
3. Bước 3: Thay vào điều kiện$A - B = h$, ta được:
   $kB - B = h \Rightarrow (k-1)B = h$
4. Bước 4: Tìm$B$:$B = \dfrac{h}{k-1}$
5. Bước 5: Tìm$A$:$A = k \times B$

Ví dụ minh họa:

Cho biết hiệu của hai số là $24$, tỉ số của hai số là $\frac{5}{3}$(tức số lớn gấp$5$phần, số bé gấp$3$phần). Tìm hai số đó.

Lời giải:
- Gọi số lớn là $A$, số bé là $B$.
-$A - B = 24$
-$\frac{A}{B} = \frac{5}{3}$nên$A = \frac{5}{3}B$.

Ta có:
$A - B = 24$
$\frac{5}{3}B - B = 24$
$(\frac{5}{3} - 1)B = 24$
$\frac{2}{3}B = 24$
$B = 24: \frac{2}{3} = 24 \times \frac{3}{2} = 36$
$A = \frac{5}{3} \times 36 = 60$

Vậy số lớn là $60$, số bé là $36$.

IV. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

• Nếu tỉ số được cho là $k: 1$(ví dụ "số lớn gấp 4 lần số bé"), thì $k$là số đã cho.
• Nếu tỉ số là $k: m$(ví dụ "số lớn gấp 7 phần, số bé gấp 3 phần"), ta gọi số lớn là $7x$, số bé là $3x$.
• Cần đọc kỹ đề để xác định đúng đâu là số lớn, đâu là số bé, tránh nhầm lẫn.
• Nếu hiệu chia không hết cho$(k-1)$, kết quả có thể ra số thập phân. Nếu đề yêu cầu số nguyên, phải kiểm tra lại điều kiện đề bài.

V. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Dạng toán này liên quan mật thiết với kiến thức về tỉ số, giải bài toán bằng hai ẩn, và kiến thức đại số cơ bản. Nó giúp các em làm quen với việc chuyển đổi từ bài toán miêu tả sang dạng bài toán có biểu thức, từ đó làm nền tảng cho dạng bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số, tìm hai số khi biết hiệu và tổng,...

VI. Các bài tập mẫu (có lời giải chi tiết)

1. Bài 1: Hiệu của hai số là $18$, tỉ số của chúng là $4: 1$. Tìm hai số đó.
   
   Lời giải:
   Gọi số lớn là $4x$, số bé là $1x$.
   $4x - 1x = 18 \Rightarrow 3x = 18 \Rightarrow x = 6$
   Số lớn:$4x = 24$; Số bé:$1x = 6$
   Vậy hai số là $24$và $6$.
2. Bài 2: Hiệu của hai số là $56$, tỉ số của chúng là $7: 3$. Tìm hai số đó.
   
   Lời giải:
   Gọi số lớn là $7x$, số bé là $3x$.
   $7x - 3x = 56 \Rightarrow 4x = 56 \Rightarrow x = 14$
   Số lớn:$7x = 98$; Số bé:$3x = 42$
   Vậy hai số là $98$và $42$.
3. Bài 3: Hiệu của hai số là $15$, tỉ số là $\frac{5}{2}$. Tìm hai số đó.
   
   Lời giải:
   $A - B = 15$,$A = \frac{5}{2}B$
   $\frac{5}{2}B - B = 15 \Rightarrow (\frac{5}{2} - 1)B = 15 \Rightarrow \frac{3}{2}B = 15$
   $B = 15: \frac{3}{2} = 15 \times \frac{2}{3} = 10$
   $A = \frac{5}{2} \times 10 = 25$
   Vậy hai số là $25$và $10$.

VII. Những lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhầm lẫn khi viết tỉ số, viết ngược$A/B$thành$B/A$. Khắc phục: Đọc kỹ đề, xác định rõ số lớn và số bé.
• Dùng sai công thức, nhân hoặc chia sai khi chuyển tỉ số sang$A = kB$. Khắc phục: Chuyển đổi thận trọng, có thể vẽ sơ đồ đoạn thẳng để minh họa.
• Tính toán nhầm lẫn giữa số tự nhiên và số thập phân, đặc biệt khi hiệu không chia hết cho$(k-1)$. Khắc phục: Kiểm tra lại phép chia cuối cùng.

VIII. Tóm tắt lý thuyết và các điểm cần nhớ

• Bài toán "Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số" là một dạng toán quan trọng giúp rèn luyện kỹ năng tính toán, tư duy logic.
• Phương pháp chính: Đặt ẩn, biểu diễn hai số qua ẩn số, dùng điều kiện hiệu và tỉ số để giải.
• Công thức:
  - Nếu$A - B = h$,$\frac{A}{B} = k$, thì $B = \frac{h}{k - 1}$,$A = k \times B$.
  - Nếu tỉ số $k: m$, gọi số lớn$= kx$, số bé $= mx$.
• Dễ nhầm lẫn giữa số lớn và số bé, cần đọc kỹ đề và kiểm tra lại các phép tính.
• Nên luyện tập nhiều bài để thành thạo và không mắc lỗi.