1. Giới thiệu về "Các phép tính với hỗn số" và tầm quan trọng của chúng trong chương trình Toán 6

Hỗn số là một loại số đặc biệt, xuất hiện rất nhiều trong toán học và cả trong đời sống hàng ngày. Trong chương trình Toán lớp 6, học sinh bắt đầu làm quen và vận dụng các phép tính với hỗn số như cộng, trừ, nhân, chia. Việc thành thạo các phép tính này giúp các em hiểu sâu hơn về bản chất của số học, đồng thời vận dụng tốt vào giải quyết các bài toán thực tế hoặc những dạng toán phân số nâng cao.

2. Định nghĩa hỗn số và các phép tính cơ bản với hỗn số

Hỗn số là số được viết dưới dạng: $a\dfrac{b}{c}$, trong đó:

• a là phần nguyên (số tự nhiên,$a \geq 0$)
• $\dfrac{b}{c}$là phần phân số,$0 < b < c$,$c>0$

Ví dụ:$2\dfrac{3}{5}$là một hỗn số.

Các phép tính cơ bản thường gặp với hỗn số là:

• - Cộng hỗn số
• - Trừ hỗn số
• - Nhân hỗn số
• - Chia hỗn số

3. Giải thích từng bước cách thực hiện các phép tính với hỗn số (Có ví dụ minh họa)

a) Cách đổi hỗn số thành phân số

Để thực hiện tính toán dễ dàng, thường ta đổi hỗn số thành phân số (phân số lớn hơn 1). Công thức chuyển như sau:

Nếu$a\dfrac{b}{c}$là một hỗn số, thì:

$a\dfrac{b}{c} = \dfrac{a \times c + b}{c}$

Ví dụ: Đổi$2\dfrac{3}{5}$sang phân số:

$2\dfrac{3}{5} = \dfrac{2 \times 5 + 3}{5} = \dfrac{10 + 3}{5} = \dfrac{13}{5}$

b) Phép cộng hai hỗn số

Có thể thực hiện theo 2 cách:

1. Cách 1: Đổi các hỗn số thành phân số rồi thực hiện phép cộng phân số.
2. Cách 2: Cộng riêng phần nguyên, cộng riêng phần phân số rồi ghép lại (chỉ áp dụng khi mẫu số giống nhau).

Ví dụ: Tính$1\dfrac{2}{3} + 2\dfrac{1}{3}$

Cách 1:

$1\dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3},<br />2\dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}$

$\dfrac{5}{3} + \dfrac{7}{3} = \dfrac{12}{3} = 4$

Cách 2:

Phần nguyên:$1+2=3$, phần phân số:$\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{3}=1$

Tổng là $3+1=4$

c) Phép trừ hai hỗn số

Tương tự phép cộng, có 2 cách:

1. Cách 1: Đổi hỗn số thành phân số rồi trừ.
2. Cách 2: Trừ phần nguyên, trừ phần phân số, nếu phần phân số bị âm thì mượn 1 đơn vị từ phần nguyên.

Ví dụ:$3\dfrac{1}{4} - 1\dfrac{3}{4}$

Đổi:$3\dfrac{1}{4} = \dfrac{13}{4}$,$1\dfrac{3}{4} = \dfrac{7}{4}$

$\dfrac{13}{4} - \dfrac{7}{4} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$

Đổi thành hỗn số:$1\dfrac{1}{2}$

d) Phép nhân hai hỗn số

Bước 1: Đổi hỗn số về phân số.
Bước 2: Nhân như nhân phân số.
Bước 3: Rút gọn và chuyển về hỗn số nếu cần.

Ví dụ:$2\dfrac{1}{2} \times 1\dfrac{2}{3}$

$2\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}$,$1\dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3}$

$\dfrac{5}{2} \times \dfrac{5}{3} = \dfrac{25}{6}$

Đổi thành hỗn số:$4\dfrac{1}{6}$

e) Phép chia hai hỗn số

Bước 1: Đổi cả hai hỗn số thành phân số.
Bước 2: Giữ nguyên số bị chia, nhân với phân số nghịch đảo của số chia.
Bước 3: Rút gọn và đổi về hỗn số nếu cần.

Ví dụ:$3\dfrac{1}{2}: 1\dfrac{3}{4}$

$3\dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2}$,$1\dfrac{3}{4} = \dfrac{7}{4}$

$\dfrac{7}{2}: \dfrac{7}{4} = \dfrac{7}{2} \times \dfrac{4}{7} = \dfrac{28}{14} = 2$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý quan trọng

• Khi cộng/trừ, nếu phần phân số sau phép tính vượt quá 1 (ví dụ $2/3 + 2/3 = 4/3 > 1$), phải chuyển 1 (tức$3/3$) sang phần nguyên.
• Khi máy mượn phần nguyên để trừ phần phân số lớn hơn, hãy giảm phần nguyên xuống 1 và cộng thêm 1 vào phần phân số trước khi trừ.
• Sau khi làm phép tính, luôn rút gọn phân số nếu có thể và đổi kết quả về hỗn số để dễ hiểu hơn.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Phép tính với hỗn số là mở rộng tự nhiên từ phép tính với số tự nhiên và phân số. Nắm vững hỗn số hỗ trợ học sinh khi làm việc với đại lượng đo (mét, lít, kilôgam, …), giải quyết các bài toán thực tế, và chuyển sang các khái niệm số thập phân hoặc tỉ số phức tạp hơn ở các lớp trên.

6. Một số bài tập mẫu và lời giải chi tiết

1. Tính:$4\dfrac{2}{5} + 2\dfrac{3}{5}$
2. Tính:$5\dfrac{1}{3} - 2\dfrac{2}{3}$
3. Tính:$1\dfrac{1}{2} \times 3\dfrac{2}{3}$
4. Tính:$7\dfrac{1}{4}: 2\dfrac{1}{2}$

Giải:

1.$4\dfrac{2}{5} + 2\dfrac{3}{5} = (4+2) + \dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{5} = 6 + \dfrac{5}{5} = 6 + 1 = 7$

2.$5\dfrac{1}{3} - 2\dfrac{2}{3} = (5-2) + \dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{3} = 3 - \dfrac{1}{3} = 2\dfrac{2}{3}$

3.$1\dfrac{1}{2} \times 3\dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{11}{3} = \dfrac{33}{6} = 5\dfrac{1}{2}$

4.$7\dfrac{1}{4}: 2\dfrac{1}{2} = \dfrac{29}{4}: \dfrac{5}{2} = \dfrac{29}{4} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{58}{20} = \dfrac{29}{10} = 2\dfrac{9}{10}$

7. Các lỗi thường gặp khi làm việc với hỗn số và cách tránh

• Không đổi hỗn số thành phân số trước khi nhân, chia.
• Quên quy đồng mẫu khi cộng/trừ phân số khác mẫu.
• Không chuyển$\frac{b}{c}\,$lớn hơn hoặc bằng 1 thành hỗn số.
• Bỏ qua bước rút gọn kết quả chia hoặc nhân.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ về phép tính với hỗn số

• Luôn đổi hỗn số về phân số khi cần thực hiện phép nhân, chia.
• Chú ý phần rút gọn, quy đồng mẫu trong cộng/trừ.
• Đổi kết quả cuối cùng sang hỗn số, rút gọn phân số tối giản.
• Cẩn thận với trường hợp phần phân số lớn hơn hoặc bằng 1.

Việc hiểu và thành thạo các phép tính với hỗn số là kỹ năng quan trọng giúp các em học sinh không chỉ làm tốt Toán 6 mà còn tạo nền tảng vững chắc cho các lớp trên và các bài toán thực tế.