Chiến Lược Và Cách Giải Bài Toán Bội Chung Dành Cho Học Sinh Lớp 6

1. Giới thiệu về bài toán bội chung và ý nghĩa thực tiễn

Bài toán về bội chung là một trong những dạng toán trọng tâm trong chương trình Toán lớp 6 thuộc chương Số Tự Nhiên. Việc hiểu và biết cách giải bài toán bội chung giúp học sinh vận dụng kiến thức số học vào thực tế, giải quyết các vấn đề liên quan đến chia hết, phân chia đều, tổ chức các hoạt động lặp lại, tìm thời điểm trùng nhau, v.v. Loại bài toán này cũng là nền tảng quan trọng để học các chủ đề số học phức tạp hơn ở bậc học cao.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán bội chung

Bội chung của hai hay nhiều số tự nhiên là các số cùng chia hết cho tất cả các số đó. Bài toán bội chung thường yêu cầu tìm các số đồng thời là bội của những số đã cho. Trong đó, bài toán phổ biến nhất là tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN). Các đặc điểm nổi bật:
- Đối tượng là các số tự nhiên.
- Hướng tới tìm số nhỏ nhất (hoặc liệt kê các số) thỏa đồng thời các điều kiện chia hết.
- Gắn với ứng dụng phân chia, xếp lớp, tổ chức sự kiện đồng thời.

3. Chiến lược tổng thể để giải quyết bài toán bội chung

• Phân tích bài toán: xác định các số cần xét, đọc kỹ đề xem cần bội chung thông thường hay bội chung nhỏ nhất.
• Phân tích thừa số nguyên tố từng số để giải quyết nhanh.
• Áp dụng công thức, kỹ thuật tìm BCNN khi cần.
• Thực hiện kiểm tra lại để tránh sai lầm (nhất là khi có nhiều số hoặc điều kiện kèm theo).

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm bội chung nhỏ nhất của 12 và 15.

- Bước 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

- Bước 2: BCNN là số có các thừa số chung và riêng với số mũ lớn nhất:

- Vậy BCNN của 12 và 15 là 60.

Ví dụ 2: Liệt kê các bội chung nhỏ hơn 100 của 6 và 8.

- Phân tích thừa số:

- BCNN(6,8) = 2^3 \times 3 = 24.

- Các bội chung nhỏ hơn 100 là: 24, 48, 72, 96.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức bội chung nhỏ nhất (BCNN) của hai số $a$,$b$:
  $BCNN(a,b) = \frac{a \times b}{ƯCLN(a,b)}$
  trong đó $ƯCLN(a, b)$là ước chung lớn nhất của$a$và $b$.
• Để tìm BCNN của nhiều số, lấy tích các thừa số nguyên tố chung và riêng, với số mũ lớn nhất trong mọi số.
• Bội chung nhỏ nhất là bội chung lớn nhất không ai bé hơn trong các số cùng là bội của các số đã cho.

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

- Bài toán tổ hợp: Tìm số học sinh ít nhất để xếp hàng đều theo 3, 4, 5 người.

→ Bài toán này hướng về BCNN của 3, 4, 5.

- Bài toán thời gian: Hai sự kiện lặp lại với chu kỳ 8 ngày và 12 ngày, hỏi sau bao lâu lại cùng xảy ra.

→ Cũng là tìm BCNN của 8 và 12.

- Kỹ thuật điều chỉnh: Khi có điều kiện kèm theo (ví dụ phải lớn hơn một số cho trước), thì sau khi tìm BCNN, xét thêm các bội lớn hơn mức yêu cầu.

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết theo từng bước

Bài tập: Một nhóm có số học sinh từ 20 đến 100. Khi xếp đều theo 6, 8, 10 đều vừa đủ học sinh. Hỏi có bao nhiêu học sinh?

- Bước 1: Tìm BCNN(6,8,10):

→ BCNN(6,8,10) =$2^3 \times 3 \times 5 = 120$.

- Bước 2: Tìm số học sinh từ 20 đến 100 là bội của 120.

- 120 > 100 nên không có số học sinh nào thỏa mãn điều kiện.

Nếu đề bài sửa thành từ 100 đến 200 thì đáp số là 120.

8. Bài tập thực hành (tự luyện)

1. Tìm bội chung nhỏ nhất của 18 và 24.
2. Liệt kê 4 bội chung nhỏ nhất khác 0 của 9 và 12.
3. Hai xe máy xuất phát cùng lúc, xe thứ nhất cứ 12 phút thì đến trạm, xe thứ hai 18 phút thì đến trạm. Hỏi sau bao lâu hai xe lại gặp nhau ở trạm (lần đầu, lần hai)?
4. Một lớp có số học sinh lớn hơn 30, chia thành các nhóm 5, 6, 9 đều vừa đủ. Hỏi lớp có bao nhiêu học sinh?

9. Mẹo và lưu ý khi giải bài toán bội chung

• Luôn phân tích các số thành thừa số nguyên tố trước khi tìm BCNN.
• Kiểm tra lại bội chung tìm được có thật sự chia hết cho tất cả các số không.
• Chú ý các điều kiện bổ sung như số lớn hơn, nhỏ hơn hay nằm trong một khoảng cố định.
• Không nhầm lẫn giữa bội chung và ước chung.
• Với nhiều số, nên liệt kê từ từ từng bước để tránh bỏ sót thừa số.