Chiến lược giải quyết bài toán: Tìm bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số

1. Giới thiệu về loại bài toán này và tầm quan trọng

Bội chung nhỏ nhất (BCNN) là một khái niệm nền tảng trong chương trình Toán lớp 6. Bài toán 'Tìm bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số' xuất hiện rất nhiều trong chương trình học cũng như thực tế đời sống, ví dụ trong các bài toán về lịch trình, chu kỳ lập lại hoặc phân chia vật. Nắm chắc cách giải bài toán tìm BCNN không chỉ giúp học sinh xử lý tốt các bài toán số học mà còn là tiền đề cho các chương trình học cao hơn.

2. Phân tích đặc điểm của loại bài toán này

Bài toán tìm BCNN yêu cầu học sinh xác định số nhỏ nhất khác$0$mà nó là bội của tất cả các số đã cho. Học sinh thường phân vân giữa việc tìm tất cả các bội của một số rồi dò số nhỏ nhất chung, hoặc sử dụng phương pháp phân tích ra thừa số nguyên tố để tìm BCNN nhanh chóng và hiệu quả hơn.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Có hai chiến lược chính để giải bài toán này:

• a. Liệt kê các bội của các số, chọn số nhỏ nhất chung.
• b. Sử dụng phương pháp phân tích các số ra thừa số nguyên tố, sau đó áp dụng công thức BCNN.

Phương pháp (b) thường được sử dụng do tính nhanh chóng, chính xác và dễ áp dụng cho số lượng lớn số.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Ta sẽ trình bày các bước giải quyết bài toán tìm bội chung nhỏ nhất qua phương pháp phân tích ra thừa số nguyên tố.

1. Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
2. Bước 2: Xác định các thừa số chung và riêng, lấy mỗi thừa số với số mũ lớn nhất xuất hiện
3. Bước 3: Nhân các thừa số đó lại để được BCNN

Ví dụ minh họa:

Tìm BCNN của$12$và $18$.

1. Phân tích$12 = 2^2 \times 3^1$và $18 = 2^1 \times 3^2$.
2. Lấy các thừa số chung và riêng với số mũ lớn nhất, ta có $2^2$và $3^2$.
3. Nhân lại:$BCNN = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$.

Vậy BCNN của$12$và $18$là $36$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức BCNN của hai số $a$và $b$qua thừa số nguyên tố:$BCNN(a, b) = \prod_{i} p_i^{max(m_i, n_i)}$, trong đó $a = \prod_{i} p_i^{m_i},\b = \prod_{i} p_i^{n_i}$.
• Hoặc dùng công thức$BCNN(a, b) = \frac{a \times b}{ƯCLN(a, b)}$khi đã biết Ước chung lớn nhất.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Bài toán có thể cho nhiều hơn hai số. Khi đó, học sinh thực hiện tương tự với từng cặp số, hoặc áp dụng công thức tổng quát cho nhiều số:

Với ba số $a$,$b$,$c$:
$BCNN(a, b, c) = BCNN(BCNN(a, b), c)$

Ví dụ: Tìm BCNN của$6$,$8$và $15$.

1. Tìm BCNN của$6$và $8$:$6=2^1 \times 3^1$,$8=2^3$. Lấy mỗi thừa số với số mũ lớn nhất:$2^3$và $3^1$.
   BCNN($6$,$8$)$= 2^3 \times 3^1 = 24$
2. Tìm BCNN của$24$và $15$:$24 = 2^3 \times 3^1$,$15 = 3^1 \times 5^1$.
   Lấy mỗi thừa số với số mũ lớn nhất:$2^3$,$3^1$,$5^1$.
   BCNN($24$,$15$)$= 2^3 \times 3^1 \times 5^1 = 120$

Vậy BCNN của$6$,$8$và $15$là $120$.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

1. Bài toán: Tìm BCNN của$20$và $30$.
2. Phân tích thành thừa số nguyên tố:$20 = 2^2 \times 5^1$,$30 = 2^1 \times 3^1 \times 5^1$.
3. Lấy các thừa số $2$,$3$,$5$với số mũ lớn nhất:$2^2$,$3^1$,$5^1$.
4. Nhân lại:$2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60$.
5. Vậy BCNN của$20$và $30$là $60$.

8. Bài tập thực hành

Bài 1: Tìm BCNN của các cặp số sau:

• a)$15$và $25$
• b)$9$và $12$
• c)$14$,$21$và $28$

Bài 2: Tìm BCNN của$24$,$36$, và $45$.

Bài 3: Một đoàn tàu A cứ mỗi$12$phút xuất phát một lần, tàu B cứ mỗi$18$phút xuất phát một lần. Hỏi sau bao lâu cả hai tàu cùng xuất phát một lần nữa (tính theo phút)?

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn phân tích đúng ra thừa số nguyên tố, tránh sót hoặc sai thừa số.
• Lấy mỗi thừa số với số mũ lớn nhất trong tất cả các số đã cho.
• Nên dùng phương pháp phân tích thay vì liệt kê bội để tránh nhầm lẫn và mất thời gian.
• Với nhiều số, nhớ thực hiện lần lượt từng cặp rồi kết hợp lại.

Kết luận

Nắm vững cách giải bài toán tìm bội chung nhỏ nhất sẽ giúp em dễ dàng vượt qua các dạng bài tập liên quan trong chương trình Toán 6. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo kỹ thuật này nhé!