1. Giới thiệu về bài toán và ý nghĩa thực tiễn

Bài toán “Tìm ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số” (thường gọi tắt là tìm UCLN hoặc GCD) là một dạng bài cơ bản trong chương trình Toán 6. Đây là một trong những kiến thức nền tảng rất quan trọng, thường gặp trong học tập và cả trong thực tế:

• Giúp rút gọn phân số, giải toán chia đều, phân phối đều các vật dụng.
• Là bước chuẩn bị cho các bài toán phức tạp hơn (chia hết, số nguyên tố, bội chung nhỏ nhất,...)
• Xuất hiện thường xuyên trong đề kiểm tra, thi học kỳ và các kỳ thi học sinh giỏi.

2. Đặc điểm của bài toán 'Tìm ước chung lớn nhất'

Ước chung lớn nhất (UCLN) của hai hay nhiều số là số lớn nhất đồng thời là ước của tất cả các số đó. Cụ thể:

• - Xét các số nguyên dương
• - Sử dụng kĩ thuật phân tích số ra thừa số nguyên tố, tìm các ước
• - Yêu cầu độ chính xác và cẩn thận trong các phép chia, lựa chọn thừa số chung

3. Chiến lược tổng thể để giải quyết bài toán

Có nhiều phương pháp để tìm UCLN. Tuy nhiên, hai chiến lược cơ bản và phổ biến dành cho học sinh lớp 6 là:

• Chiến lược 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố rồi lấy tích của các thừa số chung với số mũ nhỏ nhất.
  
• Chiến lược 2: Sử dụng thuật toán Euclid – dần dần tìm ước chung lớn nhất thông qua phép chia.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

4.1. Phương pháp 1 – Phân tích ra thừa số nguyên tố

Bước 1: Phân tích từng số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2: Chọn các thừa số nguyên tố chung có trong tất cả các số.
Bước 3: Lấy mỗi thừa số chung với số mũ nhỏ nhất.
Bước 4: Nhân tất cả các thừa số đã chọn để được UCLN.

Ví dụ: Tìm UCLN của 36 và 60.

- Phân tích: 36 = 2^2 × 3^2; 60 = 2^2 × 3 × 5

- Thừa số chung là 2 và 3. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2, của 3 là 1.

- UCLN = 2^2 × 3 = 4 × 3 = 12

Vậy UCLN(36, 60) = 12.

4.2. Phương pháp 2 – Thuật toán Euclid

Thực hiện các bước phép chia liên tiếp sau:

Bước 1: Lấy số lớn chia cho số nhỏ hơn và tìm số dư.
Bước 2: Lấy số chia và số dư để tiếp tục chia, đến khi số dư bằng 0.
Bước 3: Số chia cuối cùng (khi số dư = 0) là UCLN.

Ví dụ: Tìm UCLN của 36 và 60.

- 60 : 36 = 1 (dư 24)
- 36 : 24 = 1 (dư 12)
- 24 : 12 = 2 (dư 0)
=> UCLN là 12.

Kết quả: UCLN(36, 60) = 12.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

1. Công thức tổng quát UCLN sử dụng thừa số nguyên tố:
- Nếu$a = p_1^{m_1}p_2^{m_2} imes... imes p_k^{m_k}$
-$b = p_1^{n_1}p_2^{n_2} imes... imes p_k^{n_k}$
- Thì $UCLN(a, b) = p_1^{min(m_1, n_1)} imes p_2^{min(m_2, n_2)} imes...$

2. Công thức thuật toán Euclid:

$UCLN(a, b) = UCLN(b, a \bmod b)$(lặp lại đến khi$b = 0$)

6. Các biến thể và cách điều chỉnh chiến lược

• Tìm UCLN của ba số trở lên: Phân tích tất cả các số ra thừa số nguyên tố, chọn những thừa số chung của tất cả các số với số mũ nhỏ nhất.
• Dùng thuật toán Euclid cho nhiều số: Tìm UCLN(A, B) trước, sau đó lấy kết quả đó lần lượt tìm UCLN với số tiếp theo.
• Số lớn hoặc nhiều số: Ưu tiên thuật toán Euclid để giảm thời gian và công sức.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài mẫu: Tìm ước chung lớn nhất của các số sau:
(a) 42 và 56
(b) 15, 45 và 60

(a) UCLN của 42 và 56

Phân tích:
- 42 = 2 × 3 × 7
- 56 = 2^3 × 7

Thừa số chung: 2 (số mũ nhỏ nhất là 1) và 7 (số mũ nhỏ nhất là 1)
UCLN = 2 × 7 = 14

Hoặc dùng Euclid:
56 : 42 = 1, dư 14
42 : 14 = 3, dư 0
=> UCLN là 14

(b) UCLN của 15, 45, 60

Phân tích:
- 15 = 3 × 5
- 45 = 3^2 × 5
- 60 = 2^2 × 3 × 5

Thừa số chung: 3 (mũ nhỏ nhất 1), 5 (mũ nhỏ nhất 1)
UCLN = 3 × 5 = 15

Sử dụng Euclid cách dần từng cặp:
UCLN(15, 45) = 15
UCLN(15, 60) = 15
=> UCLN(15, 45, 60) = 15

8. Bài tập thực hành

• Tìm UCLN của 48 và 180.
• Tìm UCLN của 24, 96, 120.
• Tìm UCLN của 72, 120, 168.
• Cho các số 64, 104 và 56. Em hãy tìm UCLN của chúng.

Học sinh hãy chọn phương pháp hợp lý và trình bày chi tiết từng bước.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Nên phân tích thừa số cẩn thận, tránh bỏ sót hoặc nhầm lẫn số mũ.
• Nếu các số lớn và phân tích khó, ưu tiên thuật toán Euclid.
• Nhớ kiểm tra đáp số bằng cách chia các số đã cho cho UCLN. Nếu đều chia hết, kết quả đúng.
• Nếu tìm UCLN của ba số trở lên, chỉ chọn thừa số xuất hiện ở tất cả các số.
• Ghi nhớ các bội số, ước số, các số nguyên tố nhỏ (2, 3, 5, 7, 11, 13...) giúp phân tích thừa số dễ hơn.

Chúc các em học tốt và áp dụng linh hoạt các chiến lược giải “Tìm ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số”!