Áp dụng quan hệ giữa các cạnh trong tam giác – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 7

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong toán học lớp 7, việc hiểu và áp dụng mối quan hệ giữa các cạnh trong tam giác là một kiến thức quan trọng thuộc chủ đề hình học. Khi lý giải các bài toán về tam giác, các em sẽ thường xuyên sử dụng các công thức, bất đẳng thức, và quy tắc liên quan đến độ dài các cạnh để giải quyết vấn đề về góc, cạnh hoặc tính toán các yếu tố khác của hình tam giác. Nắm chắc kiến thức này giúp các em giải được bài toán hình học, làm nền tảng cho các kiến thức nâng cao sau này.

2. Định nghĩa chính xác về quan hệ giữa các cạnh trong tam giác

Trong một tam giác bất kỳ, độ dài mỗi cạnh luôn nhỏ hơn tổng hai cạnh còn lại và lớn hơn hiệu hai cạnh đó (bất đẳng thức tam giác). Cụ thể, với tam giác$ABC$có các cạnh$a$,$b$,$c$ đối diện các đỉnh$A$,$B$,$C$ta có:

• Quan hệ 1:$a < b + c$
• Quan hệ 2:$b < a + c$
• Quan hệ 3:$c < a + b$

Ngoài ra, mỗi cạnh cũng lớn hơn hiệu của hai cạnh còn lại, nghĩa là:

• Quan hệ 4:$a > |b - c|$
• Quan hệ 5:$b > |a - c|$
• Quan hệ 6:$c > |a - b|$

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Hãy xem xét một ví dụ cụ thể để hiểu rõ hơn về áp dụng quan hệ các cạnh trong tam giác:

Ví dụ 1: Cho tam giác$ABC$có các cạnh$AB = 4$cm,$AC = 6$cm. Hỏi độ dài cạnh$BC$có thể nhận giá trị nào?

Áp dụng các quan hệ:

- Đặt$BC = x$(cm)

- Theo quan hệ giữa các cạnh, ta có:

$x < AB + AC = 4 + 6 = 10$

$x > |AB - AC| = |4 - 6| = 2$

Vậy:$2 < x < 10$. Điều đó có nghĩa: độ dài$BC$phải lớn hơn 2cm và nhỏ hơn 10cm.

Ví dụ 2: Cho tam giác có ba cạnh độ dài lần lượt là 7cm, 8cm, 15cm. Kiểm tra xem các cạnh này có thể tạo thành một tam giác hay không.

Áp dụng:

$7 + 8 = 15$, không thỏa mãn$a < b + c$vì $a = b + c$(không nhỏ hơn). Do đó, ba cạnh này KHÔNG tạo thành một tam giác.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Nếu tổng hai cạnh đúng bằng cạnh kia (ví dụ $a = b + c$) thì ba đoạn thẳng KHÔNG tạo thành tam giác.
• Nếu một cạnh lớn hơn tổng hai cạnh còn lại thì cũng KHÔNG tạo thành tam giác.
• Ba cạnh bất kỳ muốn tạo thành một tam giác thì phải thỏa mãn$a < b + c$,$b < a + c$,$c < a + b$.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Quan hệ giữa các cạnh trong tam giác liên quan chặt chẽ đến các chủ đề như:

• Các loại tam giác: đều, cân, vuông, tù, nhọn…
• Tính chu vi tam giác:$P = a + b + c$
• Tính diện tích tam giác, dùng các công thức như Heron, có liên quan trực tiếp đến độ dài các cạnh.
• Quan hệ giữa cạnh và góc (góc lớn đối diện cạnh lớn, định lý cosin, định lý sin...)

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Cho tam giác$ABC$với$AB = 5$cm,$AC = 7$cm. Hỏi độ dài cạnh$BC$có thể nhận các giá trị nào?

Lời giải:

Đặt$BC = x$

$x < AB + AC = 5 + 7 = 12$

$x > |AB - AC| = |5 - 7| = 2$

Vậy$2 < x < 12$(cm)

Bài 2: Ba đoạn thẳng có độ dài 3cm, 4cm, 7cm. Chúng có tạo thành tam giác không?

Lời giải:

Ta thấy$3 + 4 = 7$(bằng cạnh còn lại), nên không tạo thành tam giác.

Bài 3: Ba cạnh có độ dài 6cm, 8cm, 13cm. Có tạo thành tam giác không?

Lời giải:

• $6 + 8 = 14 > 13$
• $6 + 13 = 19 > 8$
• $8 + 13 = 21 > 6$

Các tổng trên đều lớn hơn cạnh còn lại nên ba cạnh này tạo thành một tam giác.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên điều kiện hiệu giữa hai cạnh. Chỉ kiểm tra tổng hai cạnh chưa đủ, hãy kiểm tra cả điều kiện lớn hơn hiệu hai cạnh.
• Quên xét tất cả các trường hợp. Cần kiểm tra cho tất cả các cặp cạnh trong tam giác.
• Nhầm lẫn khi cạnh bằng tổng hai cạnh kia, trường hợp này KHÔNG phải tam giác.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Trong tam giác, độ dài mỗi cạnh phải nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh kia, lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh kia:$|b-c| < a < b + c$
• Luôn kiểm tra điều kiện này trước khi kết luận ba đoạn thẳng tạo thành tam giác.
• Quan hệ này giúp giải các bài toán về so sánh cạnh và góc, tính chu vi, diện tích tam giác, và các bài liên quan đến hình học.

Mong rằng sau bài viết này, các em sẽ hiểu và áp dụng thành thạo quan hệ giữa các cạnh trong tam giác, giúp cho việc học hình học lớp 7 trở nên dễ dàng và hiệu quả hơn.