1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình toán lớp 7, "Áp dụng tính chất ba đường phân giác của tam giác" là một chủ đề quan trọng trong phần Hình học. Hiểu rõ và biết vận dụng tính chất này giúp học sinh giải nhiều bài toán về tam giác, đặc biệt là các bài toán chia tỷ lệ cạnh theo đường phân giác. Ngoài việc phục vụ học tập, kiến thức này còn có ứng dụng thực tế như thiết kế kỹ thuật, xây dựng, hay giải quyết các vấn đề liên quan đến chia đều, đối xứng trong cuộc sống. Bạn còn có cơ hội luyện tập miễn phí với hơn 42.227 bài tập Áp dụng tính chất ba đường phân giác của tam giác để thành thạo kiến thức này!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Đường phân giác của một góc trong tam giác là đường thẳng xuất phát từ đỉnh góc đó, chia góc thành hai phần bằng nhau và cắt cạnh đối diện.

- Tính chất chính: Đường phân giác của một góc trong tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai góc đó.

Cụ thể, nếu tam giác$ABC$có đường phân giác$AD$($D$thuộc cạnh$BC$), ta có:

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$

- Điều kiện áp dụng: Áp dụng cho đường phân giác thực sự (chia góc), không dùng sai cho đường trung tuyến, trung trực hoặc cao.

- Giới hạn: Không sử dụng cho tam giác có điểm đặc biệt mà phân giác trùng với các đường khác, trừ khi xét từng trường hợp cụ thể.

2.2 Công thức và quy tắc

- Danh sách công thức cơ bản:

+ Với tam giác$ABC$, đường phân giác$AD$($D$nằm trên$BC$):

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$

+ Tổng cạnh:$BC = BD + DC$

- Cách ghi nhớ công thức hiệu quả: Nhớ theo câu: "Phân giác chia cạnh đối diện tỉ lệ với hai cạnh kề".

- Điều kiện sử dụng: Chỉ dùng khi biết chắc$AD$là phân giác của góc$A$.

- Các biến thể: Tương tự cho các cạnh với phân giác$BE, CF$.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho tam giác$ABC$có $AB = 6$cm,$AC = 8$cm. Đường phân giác$AD$($D \in BC$). Tính tỉ số $\frac{BD}{DC}$.

Lời giải từng bước:

Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác:

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Lưu ý: Luôn kiểm tra đúng điều kiện là phân giác.

3.2 Ví dụ nâng cao

Cho tam giác$ABC$,$AB = 10$cm,$AC = 7$cm,$BC = 12$cm. Kẻ phân giác$AD$cắt$BC$tại$D$. Tìm độ dài$BD$và $DC$.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng:

-$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{10}{7}$

- Gọi$BD = x$,$DC = 12 - x$.

- Lập phương trình:$\frac{x}{12 - x} = \frac{10}{7}$.$\Rightarrow 7x = 10(12 - x)$

$7x = 120 - 10x \Rightarrow 17x = 120 \Rightarrow x \approx 7.06 \text{cm}$

Vậy$BD \approx 7.06$cm,$DC \approx 4.94$cm.

Lưu ý: Có thể dùng các phương pháp giải nhanh như xếp tỉ số, rút gọn, thử kết quả.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Nếu đoạn phân giác trùng với trung tuyến hoặc trung trực, cần xét kỹ tính chất riêng.

- Trong tam giác cân hoặc đều, phân giác còn có tính đối xứng.

- Liên hệ với các khái niệm như trung điểm, trung tuyến, tam giác cân...

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm phân giác với trung tuyến, trung trực, đường cao.

- Hiểu lầm rằng tỉ số phân giác áp dụng cho mọi đường kẻ từ đỉnh.

Cách phân biệt: Đường phân giác luôn chia góc thành hai phần bằng nhau!

5.2 Lỗi về tính toán

- Chia sai tỉ số, đặt nhầm biến.

- Sai sót khi tính tổng độ dài cạnh.

Phương pháp kiểm tra: Đổi lại vai trò các đoạn, thử lắp vào tổng cạnh để xác nhận.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể truy cập 42.227+ bài tập Áp dụng tính chất ba đường phân giác của tam giác miễn phí để luyện tập bất cứ lúc nào. Không cần phải đăng ký, hãy bắt đầu luyện tập ngay để củng cố kiến thức, theo dõi tiến độ và nâng cao kỹ năng của mình!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

Các điểm chính:

Checklist:

Kế hoạch ôn tập: Học lý thuyết – Làm ví dụ – Luyện tập với bài tập miễn phí – Tự kiểm tra lại bằng checklist – Sẵn sàng cho mọi bài kiểm tra!