Bài 1: Góc và cạnh của một tam giác – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 7

1. Giới thiệu về khái niệm góc và cạnh của tam giác

Trong chương trình toán học lớp 7, "tam giác" là một hình học cơ bản và rất quan trọng. Việc hiểu rõ về các góc và cạnh của tam giác sẽ giúp các em học tốt các phần tiếp theo như đường cao, trung tuyến, tính diện tích, các loại tam giác đặc biệt cũng như giải quyết các bài toán thực tế. Đặc biệt, khái niệm này là nền tảng để các em bước tiếp vào các lĩnh vực hình học nâng cao hơn.

2. Định nghĩa chính xác về góc và cạnh của một tam giác

Tam giác là hình gồm 3 đoạn thẳng nối liền 3 điểm không thẳng hàng. Ba đoạn thẳng này gọi là các cạnh của tam giác. Nơi hai cạnh gặp nhau gọi là đỉnh của tam giác. Ba góc được tạo bởi hai cạnh gặp nhau gọi là các góc của tam giác.

Ký hiệu: Tam giác với ba đỉnh$A$,$B$,$C$được ký hiệu là$\triangle ABC$với các cạnh là $AB$,$BC$,$CA$; các góc là $\widehat{A}$,$\widehat{B}$,$\widehat{C}$.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác$\triangle ABC$, các cạnh là $AB = 4\, \text{cm}$,$BC = 5\, \text{cm}$,$CA = 3\, \text{cm}$. Các góc$\widehat{A}$,$\widehat{B}$,$\widehat{C}$lần lượt là các góc tại đỉnh$A$,$B$,$C$.

Khi bạn vẽ tam giác$\triangle ABC$, các đường thẳng nối$A$với$B$,$B$với$C$,$C$với$A$tạo thành ba cạnh. Tại mỗi đỉnh (nơi gặp nhau của 2 cạnh), bạn sẽ thấy một góc.

Các quy tắc quan trọng:

• Tổng ba góc trong một tam giác luôn bằng$180^{\circ}$:$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^{\circ}$
• Độ dài một cạnh bất kỳ luôn nhỏ hơn tổng hai cạnh còn lại.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

Tam giác có thể phân loại theo góc hoặc cạnh:

• Tam giác đều: Ba cạnh bằng nhau, ba góc bằng nhau$(60^{\circ})$.
• Tam giác cân: Có hai cạnh bằng nhau, hai góc đối diện bằng nhau.
• Tam giác vuông: Có một góc vuông$(90^{\circ})$.
• Tam giác tù: Có một góc lớn hơn$90^{\circ}$.
• Tam giác nhọn: Ba góc đều nhỏ hơn$90^{\circ}$.

Lưu ý: Không có cạnh nào của tam giác lớn hơn tổng hai cạnh còn lại hoặc nhỏ hơn hiệu hai cạnh còn lại.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Kiến thức về góc và cạnh của tam giác liên quan đến:

• Tính chất các đường cao, đường trung tuyến, trung trực của tam giác.
• Áp dụng vào các bài toán diện tích, chu vi.
• Các khái niệm nâng cao như đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho tam giác$\triangle ABC$có $AB = 3\, \text{cm}$,$BC = 4\, \text{cm}$,$CA = 5\, \text{cm}$. Hỏi tam giác này có phải là tam giác vuông không?

Lời giải: Ta thấy$5^2 = 25$,$4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$. Vậy tam giác này có $CA^2 = AB^2 + BC^2$. Theo định lý Pytago, đây là tam giác vuông tại$B$.

Bài tập 2: Trong tam giác$\triangle XYZ$, biết$\widehat{X} = 50^{\circ}$,$\widehat{Y} = 70^{\circ}$. Tính$\widehat{Z}$.

Lời giải: Ta có $\widehat{X} + \widehat{Y} + \widehat{Z} = 180^{\circ} \Rightarrow \widehat{Z} = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 70^{\circ} = 60^{\circ}$.

Bài tập 3: Cho tam giác$\triangle MNP$với$MN = 6\, \text{cm}$,$NP = 8\, \text{cm}$. Hỏi độ dài cạnh$MP$có thể là bao nhiêu?

Lời giải: Theo bất đẳng thức tam giác,$|MN - NP| < MP < MN + NP \rightarrow 2\, \text{cm} < MP < 14\, \text{cm}$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên cộng tổng ba góc tam giác phải là $180^{\circ}$.
• Nhầm lẫn thứ tự tên cạnh và đỉnh, ví dụ: cạnh$AB$ đối diện góc$C$là sai.
• Quên các giới hạn về độ dài cạnh (bất đẳng thức tam giác).

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

– Tam giác luôn có 3 cạnh và 3 góc, với tổng các góc là $180^{\circ}$.
– Độ dài một cạnh bất kỳ luôn nhỏ hơn tổng hai cạnh còn lại và lớn hơn hiệu hai cạnh còn lại (bất đẳng thức tam giác).
– Có nhiều loại tam giác đặc biệt dựa vào độ dài cạnh và số đo góc.
– Tên cạnh luôn bắt đầu bằng hai đỉnh nói cạnh đó (ví dụ: cạnh$AB$là đoạn nối giữa$A$và $B$).
– Hiểu rõ về góc và cạnh là bước quan trọng cho các bài toán hình học tiếp theo.