Bài 1. Tập hợp các số hữu tỉ - Giải thích chi tiết dành cho học sinh lớp 7

1. Giới thiệu về tập hợp các số hữu tỉ và vai trò của nó trong toán học lớp 7

Trong chương trình Toán lớp 7, khái niệm về tập hợp các số hữu tỉ là nền tảng quan trọng giúp học sinh mở rộng hiểu biết về các loại số, chuẩn bị bước vào các khái niệm sâu hơn như số thực, đại số, và các phép toán trên tập hợp số lớn hơn. Hiểu rõ các số hữu tỉ sẽ giúp em vận dụng tốt trong giải toán, đặc biệt là các dạng bài về phân số, tỉ số, đại lượng tỉ lệ,…

2. Định nghĩa chính xác về số hữu tỉ

Số hữu tỉ là những số có thể biểu diễn dưới dạng một phân số, tức là có thể viết thành dạng $\dfrac{a}{b}$, trong đó $a, b$là các số nguyên và $b \neq 0$.

Tập hợp các số hữu tỉ được ký hiệu là $\mathbb{Q}$.

Một số thuộc tập hợp$\mathbb{Q}$nếu nó có thể viết được dưới dạng$\dfrac{a}{b}$với$a, b \in \mathbb{Z}$,$b \neq 0$.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

a) Số nguyên là số hữu tỉ không?

Mọi số nguyên$n$ đều có thể viết dưới dạng$\dfrac{n}{1}$, nên số nguyên cũng là số hữu tỉ.

Ví dụ:

• $5 = \dfrac{5}{1}$
• $0 = \dfrac{0}{2}$

b) Phân số nghịch đảo có phải số hữu tỉ không?

Nếu$\dfrac{a}{b} \ne 0$, nghịch đảo của nó là $\dfrac{b}{a}$, cũng là số hữu tỉ (với$a \ne 0$).

c) Số thập phân hữu hạn và vô hạn tuần hoàn:

• Số thập phân hữu hạn như $0{,}25 = \dfrac{1}{4}$là số hữu tỉ.
• Số thập phân vô hạn tuần hoàn như $0{,}\overline{3} = 0{,}333... = \dfrac{1}{3}$cũng là số hữu tỉ.

d) Số thập phân vô hạn không tuần hoàn thì sao?

Đây không phải là số hữu tỉ. Ví dụ: $\sqrt{2}$, $\pi$, các số như $0,101001000100001...$ không thể viết dưới dạng phân số.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Phân số $\dfrac{0}{b}$($b \neq 0$) là số hữu tỉ và giá trị bằng 0.
• Phân số mẫu số âm, như $\dfrac{3}{-5}$: ta có thể đổi dấu thành$-\dfrac{3}{5}$.
• Hai phân số bằng nhau nếu giá trị của chúng như nhau:$\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$.
• Mẫu số không được bằng 0:$\dfrac{a}{0}$không xác định!

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Tập hợp số tự nhiên $\mathbb{N}$, số nguyên $\mathbb{Z}$đều là tập con của số hữu tỉ$\mathbb{Q}$: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Q}$, $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$.

- Số vô tỉ (không viết được dạng$\dfrac{a}{b}$) thì KHÔNG thuộc$\mathbb{Q}$.

- Số thực $\mathbb{R}$bao gồm cả số hữu tỉ và số vô tỉ:$\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

6. Các bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài 1: Viết mỗi số sau dưới dạng số hữu tỉ $\dfrac{a}{b}$với$a, b$là các số nguyên,$b \ne 0$.

• $-3$
• $0{,}7$
• $0{,}\overline{4}$

Lời giải:

• $-3 = \dfrac{-3}{1}$
• $0{,}7 = \dfrac{7}{10}$
• $0{,}\overline{4} = 0,444\ldots = \dfrac{4}{9}$

Bài 2: Số nào dưới đây là số hữu tỉ? (Chọn đúng/Sai)

• $\sqrt{4}$
• $\sqrt{2}$
• $-5$
• $2{,}666...$(với 6 lặp lại)

Lời giải:

• $\sqrt{4} = 2$ (là số hữu tỉ)
• $\sqrt{2}$ (không phải số hữu tỉ)
• $-5 = \dfrac{-5}{1}$(là số hữu tỉ)
• $2{,}666... = 2{,}\overline{6} = \dfrac{8}{3}$(là số hữu tỉ)

Bài 3: Hãy xác định dạng thập phân của các số sau và cho biết chúng thuộc loại nào.

• $\dfrac{3}{8}$
• $\dfrac{13}{99}$

Lời giải:

• $\dfrac{3}{8} = 0{,}375$(số thập phân hữu hạn, là số hữu tỉ)
• $\dfrac{13}{99} = 0{,}\overline{13}$(số thập phân vô hạn tuần hoàn, là số hữu tỉ)

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Qủên điều kiện$b \ne 0$khi viết số hữu tỉ.
• Lầm tưởng mọi số thập phân là số hữu tỉ: Không đúng, chỉ có số thập phân hữu hạn và vô hạn tuần hoàn là số hữu tỉ.
• Không đổi mẫu số âm sang dương khi viết phân số.
• Bỏ sót dấu "bằng nhau" khi rút gọn phân số về tối giản.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Số hữu tỉ là số có thể viết dưới dạng$\dfrac{a}{b}$, với$a, b$là số nguyên và $b \ne 0$.

- Số nguyên, số thập phân hữu hạn, số thập phân vô hạn tuần hoàn đều là số hữu tỉ.

- Cần phân biệt số hữu tỉ với số vô tỉ.

- Tập hợp số hữu tỉ ký hiệu$\mathbb{Q}$, đóng vai trò quan trọng trong toán học.