Bài 2: Tam giác bằng nhau – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 7

1. Giới thiệu về khái niệm "Tam giác bằng nhau" và tầm quan trọng

"Tam giác bằng nhau" là một trong những nội dung trọng tâm trong chương trình hình học lớp 7. Việc hiểu rõ về các trường hợp bằng nhau của tam giác không chỉ giúp các em giải các bài tập hình học mà còn là nền tảng học tốt các phần kiến thức nâng cao sau này như chứng minh tứ giác, đa giác, và giải quyết các vấn đề thực tiễn liên quan đến đo đạc, xây dựng. Việc nắm vững các trường hợp bằng nhau còn giúp các em phát triển tư duy logic và lập luận chặt chẽ trong toán học.

2. Định nghĩa chính xác về tam giác bằng nhau

Định nghĩa: Hai tam giác được gọi là bằng nhau (hay đồng dạng tuyệt đối) khi nào?

Hai tam giác gọi là bằng nhau nếu chúng có thể ghép khít lên nhau, tức là chúng có ba cạnh tương ứng bằng nhau và ba góc tương ứng bằng nhau, hoặc có thể nói là: Tam giác$ABC$bằng tam giác$A'B'C'$nếu có một phép dời hình biến tam giác này thành tam giác kia sao cho$AB = A'B'$,$BC = B'C'$,$CA = C'A'$và các góc tương ứng cũng bằng nhau.

Ký hiệu: Nếu tam giác$ABC$bằng tam giác$A'B'C'$thì ký hiệu là $\triangle ABC = \triangle A'B'C'$.

3. Các trường hợp bằng nhau của tam giác – Giải thích từng bước và ví dụ minh họa

Để chứng minh hai tam giác bằng nhau, ta thường dựa trên 3 trường hợp sau:

a) Trường hợp 1: Cạnh – Cạnh – Cạnh (c-c-c)

Nếu ba cạnh của tam giác này lần lượt bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Ví dụ: Tam giác$ABC$có $AB = 5$cm,$BC = 7$cm,$CA = 8$cm. Tam giác$DEF$có $DE = 5$cm,$EF = 7$cm,$FD = 8$cm. Vậy$\triangle ABC = \triangle DEF$(theo trường hợp c-c-c).

b) Trường hợp 2: Cạnh – Góc giữa – Cạnh (c-g-c)

Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này lần lượt bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Ví dụ: Tam giác$ABC$có $AB = 6$cm,$AC = 4$cm,$\angle BAC = 50^\circ$. Tam giác$DEF$có $DE = 6$cm,$DF = 4$cm,$\angle EDF = 50^\circ$. Suy ra$\triangle ABC = \triangle DEF$(theo trường hợp c-g-c).

c) Trường hợp 3: Góc – Cạnh xen giữa – Góc (g-c-g)

Nếu hai góc và cạnh xen giữa của tam giác này lần lượt bằng hai góc và cạnh xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Ví dụ: Tam giác$ABC$có $\angle BAC = 40^\circ$,$\angle ABC = 60^\circ$,$AB = 5$cm. Tam giác$DEF$có $\angle E = 40^\circ$,$\angle D = 60^\circ$,$DE = 5$cm. Suy ra$\triangle ABC = \triangle DEF$(theo trường hợp g-c-g).

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Không phải bất cứ lúc nào có hai góc bằng nhau, hay hai cạnh bằng nhau cũng đủ để hai tam giác bằng nhau.
- Cần chỉ ra đúng các cặp cạnh và góc tương ứng khi áp dụng các trường hợp.
- Chú ý khi hai tam giác bằng nhau thì phải xếp đúng các đỉnh tương ứng.

Trường hợp đặc biệt: Hai tam giác vuông bằng nhau

Ngoài ba trường hợp chung trên, trong tam giác vuông còn có hai trường hợp đặc biệt:
- Trường hợp cạnh góc vuông – cạnh huyền (cgv-c huyền): Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác này lần lượt bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác kia, thì hai tam giác đó bằng nhau.
- Trường hợp góc nhọn – cạnh huyền (gn-ch): Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác này lần lượt bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác kia, thì hai tam giác đó bằng nhau.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Khái niệm tam giác bằng nhau giúp em chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau thông qua các tam giác bằng nhau.
- Liên quan đến phép dời hình (đối xứng trục, đối xứng tâm, phép tịnh tiến), vì các phép dời hình bảo toàn độ dài và góc.
- Là cơ sở để chứng minh các bài toán nâng cao về đa giác, chu vi, diện tích khi các hình này được chia thành các tam giác.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Cho tam giác$ABC$có $AB = 5$cm,$AC = 7$cm,$\angle BAC = 60^\circ$. Cho tam giác$A'B'C'$có $A'B' = 5$cm,$A'C' = 7$cm,$\angle B'A'C' = 60^\circ$. Hỏi hai tam giác đó có bằng nhau không? Vì sao?

Lời giải:
So sánh:$AB = A'B'$,$AC = A'C'$,$\angle BAC = \angle B'A'C'$, góc xen giữa hai cạnh bằng nhau. Suy ra$\triangle ABC = \triangle A'B'C'$theo trường hợp c-g-c.

Bài 2: Cho tam giác$DEF$có $DE = 6$cm,$EF = 8$cm,$DF = 10$cm. Tam giác$UVW$có $UV = 6$cm,$VW = 8$cm,$UW = 10$cm. Chứng minh hai tam giác bằng nhau.

Lời giải:
Có $DE = UV$,$EF = VW$,$DF = UW$. Vậy$\triangle DEF = \triangle UVW$theo trường hợp c-c-c.

Bài 3: Cho tam giác vuông$ABC$tại$A$có $AB = 3$cm,$AC = 4$cm,$A'B'C'$là tam giác vuông tại$A'$có $A'B' = 3$cm,$A'C' = 4$cm. Chứng minh$\triangle ABC = \triangle A'B'C'$.

Lời giải:
Cạnh góc vuông$AB = A'B'$,$AC = A'C'$, cùng vuông tại$A$và $A'$. Vậy$\triangle ABC = \triangle A'B'C'$theo trường hợp đặc biệt tam giác vuông: hai cạnh góc vuông bằng nhau.

7. Lỗi thường gặp và cách tránh

- Hay nhầm lẫn thứ tự các đỉnh tương ứng khi ký hiệu hoặc xác định các cặp cạnh, góc.
- Áp dụng sai trường hợp bằng nhau, ví dụ lấy hai cạnh và một góc không xen giữa mà vẫn kết luận tam giác bằng nhau.
- Quên kiểm tra điều kiện góc xen giữa/cạnh xen giữa.
- Không vẽ hình hoặc vẽ hình thiếu chính xác, dẫn đến nhầm lẫn trong phân tích.
Để tránh sai sót, học sinh nên:
- Luôn vẽ hình cẩn thận, đánh dấu rõ ràng các yếu tố đề bài cho.
- Ghi chú thứ tự các đỉnh sao cho đúng các cặp tương ứng.
- Ghi rõ trường hợp và lý do kết luận hai tam giác bằng nhau.

8. Tóm tắt và ghi nhớ

- Hai tam giác bằng nhau khi các cạnh và các góc tương ứng bằng nhau.
- Ba trường hợp cần nhớ để chứng minh tam giác bằng nhau: c-c-c, c-g-c, g-c-g.
- Có hai trường hợp đặc biệt với tam giác vuông: cạnh huyền-cạnh góc vuông, cạnh huyền-góc nhọn.
- Khi chứng minh, cần lưu ý chọn đúng các cặp yếu tố tương ứng.
- Kiến thức này nền tảng để học tốt hình học ở các lớp sau.