Bài 3: Đại lượng tỉ lệ nghịch – Giải thích chi tiết, ví dụ minh họa và luyện tập miễn phí

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 7, “Bài 3: Đại lượng tỉ lệ nghịch” là một nội dung quan trọng, giúp học sinh hiểu rõ mối quan hệ nghịch giữa hai đại lượng. Kiến thức này không chỉ giúp bạn vận dụng để giải toán trong sách giáo khoa mà còn liên quan chặt chẽ đến các vấn đề thực tế như tốc độ – thời gian, công việc,… Việc hiểu và nắm vững đại lượng tỉ lệ nghịch giúp học sinh phát triển tư duy logic, chuẩn bị tốt cho các chương tiếp theo trong đại số và hình học.

Học tốt phần này còn giúp bạn giải quyết các bài toán thực tế như: nếu một xe đi nhanh hơn thì thời gian đi sẽ ít hơn, hoặc nếu nhiều người cùng làm thì thời gian hoàn thành công việc sẽ ngắn lại. Để ôn tập và rèn kỹ năng, bạn có thể luyện tập hoàn toàn miễn phí với 42.226+ bài tập ở cuối bài viết!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Hai đại lượng$x$và $y$gọi là tỉ lệ nghịch với nhau nếu tích của chúng luôn không đổi, tức là $x \times y = k$với$k$là hằng số khác$0$.

- Các tính chất chính:Khi$x$tăng lên bao nhiêu lần thì $y$giảm đi bấy nhiêu lần và ngược lại, sao cho$x \times y$không đổi.

- Điều kiện áp dụng: $x \ne 0$,$y \ne 0$,$k \ne 0$

2.2 Công thức và quy tắc

- Công thức cơ bản: $x \times y = k$, với$k$không đổi.

- Nếu biết$x_1, y_1$và $x_2, y_2$là hai cặp giá trị của hai đại lượng tỉ lệ nghịch thì:$x_1 \times y_1 = x_2 \times y_2$

- Quy tắc nhớ nhanh: Khi một đại lượng gấp đôi thì đại lượng kia giảm một nửa (và ngược lại).

Lưu ý:

• Công thức chỉ dùng với$x, y \neq 0$.
• Không áp dụng công thức nếu một trong hai đại lượng không thay đổi.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ: Một xưởng có 5 công nhân hoàn thành một công việc trong 12 ngày. Nếu tăng số công nhân lên thành 10, hỏi thời gian hoàn thành công việc là bao nhiêu ngày (giả sử năng suất mỗi người không đổi)?

Giải:

• Gọi$x_1 = 5$(công nhân),$y_1 = 12$(ngày);$x_2 = 10$(công nhân),$y_2$(ngày).
• Do số công nhân và số ngày hoàn thành là hai đại lượng tỉ lệ nghịch:$x_1 \times y_1 = x_2 \times y_2$.
• $5 \times 12 = 10 \times y_2 \Rightarrow y_2 = \frac{5 \times 12}{10} = 6$(ngày)

Vậy, nếu có 10 công nhân thì thời gian hoàn thành công việc là 6 ngày.

Lưu ý: Số công nhân càng nhiều thì số ngày càng ít – đó chính là mối quan hệ tỉ lệ nghịch.

3.2 Ví dụ nâng cao

Ví dụ: Để đắp xong một con đường trong 20 ngày cần 36 người. Nếu sau 8 ngày chỉ có 24 người làm việc, hỏi cần bổ sung bao nhiêu người nữa để hoàn thành công việc đúng thời hạn?

Giải:

• Trong 8 ngày đầu, 24 người làm được:$\frac{8}{20} = \frac{2}{5}$công việc.
• Còn lại$\frac{3}{5}$công việc cần làm trong$20 - 8 = 12$ngày.
• Gọi số người cần có là $x$. Ta có:$x \times 12 = 36 \times 20 \times \frac{3}{5}$(vì tổng lượng người-ngày cần thiết giữ nguyên)
• $x = \frac{36 \times 20 \times \frac{3}{5}}{12} = \frac{36 \times 12}{12} = 36$
• Vậy cần 36 người làm trong 12 ngày cuối. Đã có 24 người, cần bổ sung thêm$36-24=12$người.

Kỹ thuật giải nhanh: Tính phần công việc còn lại, xác định tổng số lượng người-ngày cần thiết, rồi suy ra số người phải bổ sung.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Nếu một trong hai đại lượng bằng 0 thì không thể áp dụng tỉ lệ nghịch.
• Nếu$k < 0$, các giá trị $x$,$y$có thể nhận giá trị âm, nhưng vẫn phải thỏa mãn tích không đổi.
• Quan hệ giữa đại lượng tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch: Đại lượng tỉ lệ thuận có dạng$y = kx$, còn tỉ lệ nghịch có dạng$y = \frac{k}{x}$.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Nhầm lẫn với tỉ lệ thuận:$x$tăng thì $y$giảm (tỉ lệ nghịch), còn$x$tăng thì $y$cũng tăng (tỉ lệ thuận).
• Quên điều kiện$x, y \neq 0$.

5.2 Lỗi về tính toán

• Đặt nhầm biến số, thay sai giá trị vào công thức.
• Quên kiểm tra kết quả: Hãy thử nhân$x$với$y$xem có ra hằng số không sau khi tìm được đáp án.

6. Luyện tập miễn phí ngay

- Truy cập 42.226+ bài tập Bài 3: Đại lượng tỉ lệ nghịch miễn phí để luyện tập, nâng cao trình độ! Không cần đăng ký, bạn có thể bắt đầu luyện tập và theo dõi tiến độ học tập ngay lập tức.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Đại lượng tỉ lệ nghịch:$x \times y = k$($x, y \neq 0$,$k \neq 0$)
• Nếu$x$tăng bao nhiêu lần,$y$giảm bấy nhiêu lần.
• Áp dụng công thức đúng điều kiện; kiểm tra lại đáp án bằng cách nhân hai đại lượng vừa tìm.

Checklist ôn tập nhanh:

• Nắm định nghĩa và tính chất.
• Phân biệt đại lượng tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch.
• Thành thạo sử dụng công thức$x \times y = k$.
• Tự rèn luyện thêm với các bài tập miễn phí để củng cố.