Bài 4: Đường vuông góc và đường xiên – Lý thuyết, bài tập miễn phí Toán 7

1. Giới thiệu và tầm quan trọng của Bài 4: Đường vuông góc và đường xiên trong Toán 7

Bài 4: Đường vuông góc và đường xiên là một nội dung nền tảng trong chương trình hình học lớp 7. Việc hiểu rõ khái niệm này giúp các em xây dựng tư duy hình học, chuẩn bị cho các bài toán về khoảng cách, tam giác, trực tâm, hình học không gian sau này.

Nếu nắm vững kiến thức về đường vuông góc và đường xiên, học sinh không chỉ dễ dàng giải các bài kiểm tra, mà còn có thể áp dụng vào các tình huống thực tế như đo khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng (ví dụ: đo chiều cao của một cây qua bóng đổ…). Ngoài ra, luyện tập nhiều bài tập dạng này cũng giúp các em rèn luyện kỹ năng tư duy logic và sáng tạo.

Ngại lý thuyết khô khan? Đừng lo! Bạn có thể luyện tập miễn phí với hơn 100+ bài tập Bài 4: Đường vuông góc và đường xiên miễn phí ngay sau khi đọc xong bài viết này.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

Định nghĩa đường vuông góc:

Cho một điểm $A$ ở ngoài đường thẳng $d$ . Đường thẳng $AH$ được gọi là đường vuông góc kẻ từ $A$ tới $d$ nếu $AH \perp d$ tại $H$ (với $H$ thuộc $d$ ).

Định nghĩa đường xiên:

Qua $A$ (khác $H$ ), mọi đường thẳng $AM$ cắt $d$ tại $M$ (với $M \neq H$ ) được gọi là đường xiên kẻ từ $A$ tới $d$ .

Định nghĩa đoạn vuông góc và đoạn xiên:

Đoạn thẳng $AH$ là đoạn vuông góc. Đoạn $AM$ là đoạn xiên (với $M \neq H$ ).

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:

Là độ dài đoạn thẳng vuông góc kẻ từ điểm đó đến đường thẳng.

Định lý cơ bản:

Từ một điểm nằm ngoài đường thẳng, chỉ có một đường vuông góc với đường thẳng đó. Tất cả các đoạn xiên kẻ từ $A$ đến $d$ (không trùng $AH$ ) đều có độ dài lớn hơn $AH$ .

Tính chất đối xứng:

Hai đoạn xiên $AM_1$ , $AM_2$ cùng xuất phát từ $A$ , cắt $d$ tại $M_1$ , $M_2$ , nếu $H$ là chân đường vuông góc thì: nếu $HM_1 = HM_2$ thì $AM_1 = AM_2$ .

2.2 Công thức và quy tắc cần học thuộc

Công thức liên hệ giữa đoạn xiên và đoạn vuông góc:

Nếu $AH$ vuông góc với $d$ , $AM$ là đoạn xiên, $HM$ là hình chiếu của $AM$ lên $d$ thì: $AM^2 = AH^2 + HM^2$

Ghi nhớ: Đoạn vuông góc luôn ngắn nhất trong các đoạn nối từ $A$ đến $d$ .

Phương pháp ghi nhớ công thức: Vẽ hình tam giác vuông với

AH

là cạnh góc vuông,

AM

là cạnh huyền,

HM

là cạnh góc vuông còn lại.

Điều kiện sử dụng: Chỉ sử dụng công thức Pythagore trên khi tam giác

AHM

vuông tại

H

Biến thể: Nếu có hai đoạn xiên

AM_1

AM_2

có hình chiếu

HM_1

HM_2

trên

d

và

HM_1 = HM_2

thì

AM_1 = AM_2

(tính chất đối xứng).

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho điểm $A$ nằm ngoài đường thẳng $d$ . Từ $A$ kẻ $AH \perp d$ tại $H$ , kẻ thêm đường xiên $AM$ cắt $d$ tại $M$ với $M \neq H$ . Biết $AH = 6$ cm, $HM = 8$ cm. Tính độ dài $AM$ .

Lời giải từng bước:

Nhận biết: Tam giác

AHM

vuông tại

H

AH

vuông góc với

d

=> Áp dụng định lý Pythagore.

Áp dụng công thức:

AM^2 = AH^2 + HM^2

Thay số:

AM^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \Rightarrow AM = 10 \text{cm}

Lưu ý: Đoạn vuông góc (6 cm) nhỏ hơn đoạn xiên (10 cm).

3.2 Ví dụ nâng cao

Cho điểm $A$ nằm ngoài đường thẳng $d$ . Kẻ $AH \perp d$ tại $H$ , trên $d$ lấy hai điểm $M_1, M_2$ sao cho $HM_1 = HM_2 = a$ . So sánh độ dài $AM_1$ và $AM_2$ .

Lời giải:

AM_1^2 = AH^2 + a^2

AM_2^2 = AH^2 + a^2 \Rightarrow AM_1 = AM_2

Kỹ thuật giải nhanh: Đoạn xiên từ

A

đến

M_1

M_2

bằng nhau nếu hình chiếu trên

d

bằng nhau.

Tư duy mở rộng: Dù

M_1

M_2

ở hai phía của

H

nhưng do khoảng cách hình chiếu giống nhau nên đoạn xiên cũng bằng nhau.

4. Các trường hợp đặc biệt

Trường hợp điểm

A

nằm trên

d

: Khoảng cách gần nhất là

0

Nếu

HM

lớn hơn nhiều

AH

: Đoạn xiên dài đáng kể, kiểm tra bằng công thức Pythagore.

Liên hệ với tam giác vuông, đường trung trực, hình học không gian: Kiến thức về đường vuông góc, đường xiên là tiền đề cho hiểu sâu hơn về trực tâm, đường cao, khoảng cách giữa hai đường thẳng không song song…

Khi

AM

song song với

d

(không giao nhau): Không xét là đường xiên, cần phân biệt.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

Nhầm lẫn đoạn xiên và đoạn vuông góc: Đoạn vuông góc phải tạo góc

90^{\circ}

với

d

Hiểu sai "hình chiếu": Chỉ lấy đoạn từ chân vuông góc tới điểm chiếu trên

d

Lẫn lộn với khái niệm đường trung trực, đường cao trong tam giác. Hãy chú ý đặt tên điểm cho rõ ràng.

5.2 Lỗi về tính toán

Quên bình phương khi áp dụng Pythagore.

Bấm máy tính sai hoặc nhầm vị trí các cạnh.

Cách kiểm tra: So sánh số liệu bằng cách thay lại vào công thức Pythagore, kiểm tra logic "đoạn vuông góc ngắn nhất".

6. Luyện tập miễn phí ngay

Trải nghiệm 100+ bài tập Bài 4: Đường vuông góc và đường xiên miễn phí. Không cần đăng ký, vào ngay để luyện tập, nâng cao kỹ năng và theo dõi tiến độ học tập hiệu quả.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

Từ điểm ngoài đường thẳng, kẻ được duy nhất một đường vuông góc.

Đoạn vuông góc luôn ngắn nhất; các đoạn xiên có hình chiếu bằng nhau thì dài bằng nhau.

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông tạo bởi đoạn vuông góc, đoạn xiên và hình chiếu.

Kiểm tra kết quả để tránh sai sót.

Luyện tập thường xuyên để thuộc lòng công thức và thao tác nhanh.

Checklist kiến thức:
- Hiểu rõ khái niệm đường vuông góc, đường xiên
- Nhớ công thức liên hệ giữa các đoạn
- Biết áp dụng vào bài tập
- Phân biệt với đường trung trực, đường cao
- Luyện tập đều đặn để củng cố kiến thức

Chúc bạn học Bài 4: Đường vuông góc và đường xiên miễn phí hiệu quả, đạt nhiều điểm cao!

Hình minh họa: Hình minh họa — Hình minh họa

Blog

Bài 4: Đường vuông góc và đường xiên – Lý thuyết, ví dụ và luyện tập miễn phí

1. Giới thiệu và tầm quan trọng của Bài 4: Đường vuông góc và đường xiên trong Toán 7

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

2.2 Công thức và quy tắc cần học thuộc

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

3.2 Ví dụ nâng cao

4. Các trường hợp đặc biệt

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

5.2 Lỗi về tính toán

6. Luyện tập miễn phí ngay

7. Tóm tắt và ghi nhớ

Danh mục:

Thẻ:

Tác giả

Liên hệ

Pháp lý

Blog

1. Giới thiệu và tầm quan trọng của Bài 4: Đường vuông góc và đường xiên trong Toán 7

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

2.2 Công thức và quy tắc cần học thuộc

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

3.2 Ví dụ nâng cao

4. Các trường hợp đặc biệt

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

5.2 Lỗi về tính toán

6. Luyện tập miễn phí ngay

7. Tóm tắt và ghi nhớ

Danh mục:

Thẻ:

Tác giả

Liên hệ

Pháp lý

Theo dõi chúng tôi tại

Nhận thông tin mới nhất về chúng tôi