Bài 6: Tính chất ba đường trung trực của tam giác – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 7

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Hình học là phần rất quan trọng trong chương trình toán lớp 7, giúp phát triển tư duy logic, óc quan sát và khả năng giải quyết vấn đề. Trong số các khái niệm hình học cơ bản, bài toán về ba đường trung trực của tam giác là nội dung nền tảng, được sử dụng rộng rãi trong nhiều bài tập về đường tròn, các điểm đặc biệt của tam giác và hình học giải tích sau này. Hiểu rõ tính chất của ba đường trung trực không chỉ giúp các em giải các bài toán hình học mà còn là nền tảng cho các môn học ở các lớp cao hơn.

2. Định nghĩa chính xác về đường trung trực và tính chất giao nhau

Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó.

Trong mỗi tam giác có ba cạnh, vì vậy cũng có ba đường trung trực – mỗi đường ứng với một cạnh.

Tính chất quan trọng: Ba đường trung trực của tam giác luôn đồng quy tại một điểm duy nhất gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Hãy xét tam giác$ABC$. Ta lần lượt vẽ ba đường trung trực:

• - Đường trung trực$d_1$của$AB$cắt$AB$tại trung điểm$M$, vuông góc với$AB$tại$M$.
• - Đường trung trực$d_2$của$BC$cắt$BC$tại trung điểm$N$, vuông góc với$BC$tại$N$.
• - Đường trung trực$d_3$của$CA$cắt$CA$tại trung điểm$P$, vuông góc với$CA$tại$P$.

Kết quả, ba đường này gặp nhau tại một điểm$O$. Điểm$O$này cách đều ba đỉnh$A$,$B$,$C$của tam giác.

Đó chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác$ABC$(đường tròn đi qua cả ba đỉnh$A$,$B$,$C$).

Minh họa bằng hình vẽ

Hình vẽ bên dưới sẽ giúp các em hình dung rõ hơn:

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

• - Tam giác đều: Tâm đường tròn ngoại tiếp cũng là trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn nội tiếp.
• - Tam giác vuông: Tâm đường tròn ngoại tiếp nằm tại trung điểm cạnh huyền.
• - Tam giác tù: Tâm đường tròn ngoại tiếp nằm ngoài tam giác.

Lưu ý: Dù hình dáng tam giác thay đổi, ba đường trung trực luôn giao nhau tại một điểm duy nhất.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Tính chất đồng quy của ba đường trung trực liên quan trực tiếp tới đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Điểm đồng quy$O$là tâm đường tròn ngoại tiếp, từ đó:

• - Giải các bài toán chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau.
• - Ứng dụng trong bài toán về đường tròn ngoại tiếp.
• - Phân biệt với các điểm đặc biệt khác trong tam giác: trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1

Cho tam giác$ABC$. Vẽ ba đường trung trực của ba cạnh. Chứng minh chúng cắt nhau tại một điểm.

Lời giải: Gọi các đường trung trực của$AB$,$BC$,$CA$lần lượt cắt nhau tại$O$. Theo định nghĩa, các điểm nằm trên đường trung trực của$AB$ đều cách$A$và $B$một khoảng bằng nhau, nên$OA = OB$. Tương tự, vì $O$nằm trên đường trung trực của$BC$nên$OB = OC$. Vì vậy$OA = OB = OC$. Do đó,$O$là điểm duy nhất cách đều ba đỉnh$A$,$B$,$C$, tức là ba đường trung trực đồng quy.

Bài tập 2

Vẽ tam giác vuông$ABC$tại$A$. Hãy xác định vị trí tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Lời giải: Ở tam giác vuông tại$A$, đường tròn ngoại tiếp có tâm tại trung điểm$M$của cạnh huyền$BC$.

Bài tập 3

Trong tam giác đều, tìm mối liên hệ giữa tâm đường tròn ngoại tiếp và các điểm đặc biệt khác.

Lời giải: Trong tam giác đều, tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của ba đường trung trực, cũng là trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn nội tiếp.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• - Nhầm lẫn giữa đường trung trực và đường trung bình của tam giác.
• - Vẽ sai đường vuông góc hoặc không đi qua trung điểm cạnh.
• - Không kiểm tra lại vị trí giao điểm của ba đường trung trực.

Để tránh mắc lỗi, các em nên sử dụng thước và êke để vẽ hình chính xác, đồng thời phân biệt rõ các khái niệm hình học đã học.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• - Đường trung trực là đường vuông góc tại trung điểm của cạnh.
• - Ba đường trung trực của một tam giác luôn đồng quy tại một điểm duy nhất – tâm đường tròn ngoại tiếp.
• - Tâm đường tròn ngoại tiếp cách đều ba đỉnh của tam giác.
• - Nhớ phân biệt trung trực với các khái niệm như trung tuyến, phân giác.

Hy vọng qua bài học này, các em sẽ nắm vững khái niệm và vận dụng thành thạo tính chất ba đường trung trực của tam giác trong giải toán hình học.

Tài liệu tham khảo thêm

• - Sách giáo khoa Toán 7, Bộ GD&ĐT
• - Tài liệu bài giảng e-learning