Cách giải bài toán Ba đường phân giác của tam giác – Chiến lược và hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 7

1. Giới thiệu về bài toán Ba đường phân giác của tam giác và ý nghĩa

Trong chương trình Toán lớp 7, "Ba đường phân giác của tam giác" là một trong những chuyên đề then chốt của hình học phẳng. Loại bài toán này yêu cầu học sinh hiểu rõ khái niệm, nhận biết và vận dụng tính chất ba đường phân giác để giải các bài tập chứng minh, tính toán độ dài, xác định tâm nội tiếp, hoặc giải quyết các bài toán về điểm đặc biệt trong tam giác. Hiểu và thành thạo cách giải bài toán ba đường phân giác của tam giác sẽ giúp học sinh phát triển tư duy logic, kỹ năng lập luận chặt chẽ, và tạo nền tảng vững chắc cho các dạng toán khó hơn ở bậc học cao hơn.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán Ba đường phân giác

Bài toán về ba đường phân giác tập trung vào những nội dung sau:

• Định nghĩa đường phân giác của tam giác.
• Nhận diện ba đường phân giác trong một tam giác bất kỳ.
• Tính chất: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm (tâm nội tiếp tam giác).
• Ứng dụng tính chất để chứng minh hình học, tính độ dài, xác định vị trí các điểm đặc biệt.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán Ba đường phân giác

Khi gặp bài toán về ba đường phân giác, để giải hiệu quả và tránh sót ý, bạn nên tuân theo chiến lược sau:

• Vẽ hình chính xác, xác định đúng các đường phân giác của các góc trong tam giác.
• Ghi nhớ tính chất: Ba đường phân giác đồng quy tại một điểm (tâm nội tiếp).
• Liên kết các dữ liệu bài toán với các tính chất của tâm nội tiếp/tam giác liên quan.
• Sử dụng các công thức và định lý về phân giác để giải - ví dụ: định lý phân giác, tính chất tiếp tuyến trong/ngoài.
• Luyện tập kỹ năng chứng minh và trình bày các bước giải hợp lý.

4. Các bước giải bài toán Ba đường phân giác với ví dụ minh họa

Để làm rõ hơn, chúng ta đi qua ví dụ cụ thể dưới đây, sau đó tổng hợp thành từng bước chuẩn hóa:

Ví dụ minh họa

Cho tam giác$ABC$. Gọi$I$là giao điểm ba đường phân giác của tam giác$ABC$. Chứng minh rằng từ $I$kẻ các đoạn thẳng đến ba cạnh của tam giác thì các đoạn thẳng này đều là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

Các bước giải:

• Bước 1: Vẽ hình và ký hiệu: Vẽ tam giác$ABC$, kẻ ba đường phân giác, xác định giao điểm$I$.
• Bước 2: Nhận xét tính chất:$I$là tâm đường tròn nội tiếp tam giác$ABC$, nên từ $I$xuống ba cạnh đều là các bán kính nội tiếp.
• Bước 3: Chứng minh: Từ $I$, kẻ $ID$,$IE$,$IF$lần lượt vuông góc với$BC$,$CA$,$AB$($D, E, F$là chân đường vuông góc). Theo định nghĩa,$ID = IE = IF = r$(với$r$là bán kính đường tròn nội tiếp).
• Bước 4: Kết luận: Như vậy, giao điểm của ba đường phân giác là tâm đường tròn nội tiếp và các đoạn thẳng đó là các bán kính.

Quy trình giải này có thể áp dụng cho đa số các dạng toán về ba đường phân giác: xác định vị trí tâm nội tiếp, chứng minh tính đồng quy, chứng minh các đoạn bằng nhau, tính toán độ dài liên quan...

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

a) Định lý về đường phân giác trong tam giác:

Trong tam giác$ABC$, nếu$AD$là đường phân giác của$riangle ABC$($D$nằm trên$BC$) thì:

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$

b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác:

Với tam giác$ABC$có diện tích$S$và chu vi$p = AB + BC + CA$, bán kính đường tròn nội tiếp là:

$r = \frac{S}{p/2}$

c) Kỹ thuật sử dụng tính chất đồng quy: Ba đường phân giác luôn đồng quy tại tâm nội tiếp, nên bất cứ bài toán nào có ba đường phân giác đều có thể sử dụng tính chất này.

6. Các biến thể và điều chỉnh chiến lược phù hợp

Các bài toán có thể yêu cầu:

• Chứng minh ba đường phân giác đồng quy tại một điểm.
• Tính bán kính đường tròn nội tiếp khi biết các cạnh hoặc diện tích.
• Chứng minh các đoạn thẳng từ giao điểm phân giác xuống ba cạnh bằng nhau.
• Tìm giao điểm đường phân giác tạo các tứ giác, chứng minh các đoạn thẳng song song hoặc bằng nhau.

Chiến lược giải có thể thay đổi tùy yêu cầu bài, nhưng luôn phải bắt đầu từ việc nhận dạng đúng vai trò của các đường phân giác, sử dụng định lý phân giác để tính toán và kết nối các dữ liệu bài toán hợp lý.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết từng bước

Bài tập mẫu:

Cho tam giác$ABC$có $AB = 7\,cm$,$AC = 5\,cm$,$BC = 6\,cm$. Kẻ ba đường phân giác trong tam giác cắt nhau tại$I$. Tính bán kính$r$của đường tròn nội tiếp tam giác$ABC$.

Hướng dẫn giải chi tiết:

1. Tính chu vi tam giác:
   $p = AB + AC + BC = 7 + 5 + 6 = 18\,cm$
2. Tính nửa chu vi (nửa chu vi ký hiệu là $p$theo công thức bán kính nội tiếp):
   $\frac{p}{2} = 9\,cm$
3. Tính diện tích tam giác theo công thức Heron:
   
   Gọi $S$ là diện tích tam giác:
   
   $S = \sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)} <br>$S = \sqrt{9(9-7)(9-5)(9-6)}
   $$<br> S = \sqrt{9 \times 2 \times 4 \times 3} = \sqrt{9 \times 24} = \sqrt{216} \\ \approx 14,7\,cm^2$$
4. Bán kính đường tròn nội tiếp:
   
   $r = \frac{S}{p} = \frac{14,7}{9} \approx 1,63\,cm$

8. Bài tập thực hành

Sau đây là một số bài tập để học sinh luyện tập thêm:

• Bài 1: Cho tam giác$ABC$biết$AB = 8\,cm$,$AC = 6\,cm$,$BC = 10\,cm$. Kẻ ba đường phân giác, xác định bán kính đường tròn nội tiếp.
• Bài 2: Chứng minh rằng giao điểm của ba đường phân giác là tâm của một đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác đó.
• Bài 3: Trong tam giác$ABC$, đường phân giác$AD$chia cạnh$BC$tại$D$. Biết$AB = 9\,cm$,$AC = 12\,cm$,$BC = 15\,cm$. Tính độ dài$BD$và $DC$.

9. Mẹo, lưu ý và lỗi thường gặp

• Chú ý vẽ hình đúng tỷ lệ, xác định đường phân giác chính xác để tránh ngộ nhận.
• Luôn ghi nhớ công thức định lý phân giác và bán kính đường tròn nội tiếp.
• Khi chứng minh tính chất đồng quy/chứng minh các đoạn bằng nhau, hãy bắt đầu từ cơ sở lý thuyết về phân giác và nội tiếp.
• Tránh nhầm lẫn đường phân giác với đường trung trực, đường cao hoặc trung tuyến.
• Luyện tập cách trình bày bài giải logic, rõ ràng từng bước, nêu rõ giả thiết và kết luận.

Luyện tập nhiều dạng bài và thuộc lòng các công thức, tính chất quan trọng là cách giải bài toán ba đường phân giác của tam giác hiệu quả nhất cho học sinh lớp 7.