Chiến lược giải quyết bài toán về các đại lượng tỉ lệ trong thực tế – Hướng dẫn toàn diện cho học sinh lớp 7

1. Giới thiệu về bài toán đại lượng tỉ lệ trong thực tế và ý nghĩa

Trong chương trình Toán 7, bài toán về các đại lượng tỉ lệ trong thực tế là một chủ đề vô cùng quan trọng. Đây là những bài toán liên quan đến các đại lượng thường gặp trong cuộc sống như: quãng đường và thời gian, giá cả và số lượng, lượng nước và thể tích, v.v. Việc hiểu và biết cách giải bài toán về đại lượng tỉ lệ giúp học sinh rèn luyện tư duy logic, vận dụng kiến thức vào thực tiễn và chuẩn bị tốt cho các lớp cao hơn.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán đại lượng tỉ lệ

• Đại lượng tỉ lệ thuận: Khi đại lượng này tăng (hoặc giảm) thì đại lượng kia cũng tăng (hoặc giảm) theo cùng một tỉ lệ. Công thức$y = kx$.
• Đại lượng tỉ lệ nghịch: Khi một đại lượng tăng thì đại lượng kia giảm theo tỉ lệ nhất định. Công thức$y = \frac{k}{x}$.
• Nhận biết bài toán thông qua cụm từ: "tỉ lệ thuận", "tỉ lệ nghịch", hoặc các mô tả số học tương ứng.
• Dữ kiện cho ở dạng bảng hoặc đoạn văn kể chuyện thực tế (giá tiền/kilôgam, tốc độ/thời gian, thể tích/thời gian đổ đầy, v.v.).

3. Chiến lược tổng thể khi tiếp cận bài toán

1. Xác định loại tỉ lệ (tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch).
2. Đặt ẩn, xây dựng mối liên hệ toán học giữa các đại lượng.
3. Lập phương trình dựa trên các dữ kiện bài toán.
4. Giải phương trình hoặc sử dụng phép tính tỉ lệ thích hợp.
5. Kiểm tra lại kết quả và trình bày lời giải rõ ràng.

4. Các bước giải bài toán kèm ví dụ minh hoạ

Ví dụ minh hoạ 1: Một người mua 4kg gạo hết 60.000 đồng. Hỏi mua 7kg gạo cùng loại phải trả bao nhiêu tiền? (Các đại lượng tỉ lệ thuận).

1. Bước 1: Xác định loại tỉ lệ – Tiền và kg gạo tỉ lệ thuận.
2. Bước 2: Đặt công thức tỉ lệ $y = kx$, với y: số tiền, x: số kg.
3. Bước 3: Tìm hệ số tỉ lệ:$60.000 = k \times 4 \Rightarrow k = 15.000$.
4. Bước 4: Tìm số tiền khi mua 7kg:$y = 15.000 \times 7 = 105.000$(đồng).

Ví dụ minh hoạ 2: Một bể nước dùng 5 vòi thì đầy trong 6 giờ. Hỏi dùng 3 vòi thì trong bao lâu đầy bể? (Các đại lượng tỉ lệ nghịch).

1. Bước 1: Xác định loại tỉ lệ – số vòi và thời gian tỉ lệ nghịch.
2. Bước 2: Tìm tích số "không đổi":$x_1 \times y_1 = x_2 \times y_2$.
3. Bước 3:$5 \times 6 = 3 \times y \Rightarrow y = \frac{5 \times 6}{3} = 10$(giờ).

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Tỉ lệ thuận:$y = kx$;$\frac{y}{x} = k$(k không đổi).
• Tỉ lệ nghịch:$y = \frac{k}{x}$;$x \times y = k$(k không đổi).
• Tỉ số các giá trị tương ứng:$\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2}$(tỉ lệ thuận);$x_1 \times y_1 = x_2 \times y_2$(tỉ lệ nghịch).
• Nhận dạng đại lượng dựa vào lời văn: "cùng tăng/giảm", "giảm một nửa/thì... tăng gấp đôi", v.v.

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

• Bài toán cho nhiều hơn hai cặp giá trị: Lập bảng rồi dùng tỉ lệ giữa các dòng.
• Dữ kiện cho dạng phần trăm: Chuyển về dạng số thực hoặc phần trăm phù hợp trước khi tính.
• Kết hợp tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch: Tách thành mỗi bước, giải từng phần rồi lắp ghép đáp số.

7. Bài tập mẫu và giải chi tiết theo từng bước

Bài tập mẫu 1: Một xe máy đi hết 120 km hết 4 lít xăng. Hỏi nếu đi 180 km thì cần bao nhiêu lít xăng?

1. Bước 1: Nhận dạng tỉ lệ thuận (quãng đường và lít xăng).
2. Bước 2: Lập công thức tỉ lệ thuận:$\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2}$, với$x$: quãng đường,$y$: lít xăng.
3. Bước 3:$\frac{120}{4} = \frac{180}{y}$\Rightarrow$180 = 30y$ \Rightarrow y = 6$(lít).
4. Bước 4: Đáp số: 6 lít xăng.

Bài tập mẫu 2: Một xưởng sản xuất hoàn thành một đơn hàng trong 8 ngày với 12 công nhân. Nếu xưởng chỉ có 6 công nhân thì phải mất bao nhiêu ngày để hoàn thành đơn hàng?

1. Bước 1: Nhận dạng tỉ lệ nghịch (số công nhân và thời gian hoàn thành).
2. Bước 2: Sử dụng công thức$x_1y_1 = x_2y_2$
3. $12 \times 8 = 6 \times y$\rightarrow$96 = 6y$\rightarrow$y = 16$(ngày)
4. Bước 3: Đáp số: 16 ngày.

8. Bài tập thực hành

1. Một đội xe vận chuyển hết 1200 tấn hàng trong 6 ngày, mỗi ngày làm việc như nhau. Hỏi nếu đội xe chỉ còn 6 chiếc thì cần bao nhiêu ngày để vận chuyển hết số hàng, biết số hàng mỗi chiếc vận chuyển mỗi ngày không đổi?
2. Một sản phẩm có giá 55.000 đồng/kg. Hỏi mua 3,2 kg thì hết bao nhiêu tiền?
3. Một chiếc bể chứa đầy nước bởi một vòi trong 12 giờ. Nếu dùng thêm 1 vòi nữa, cùng loại, thì cần bao lâu để đầy bể?
4. Nếu đi bộ 2 giờ với vận tốc 4 km/h sẽ được quãng đường bao nhiêu?

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Phân biệt rõ giữa tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch để áp dụng đúng công thức.
• Đổi đơn vị về cùng một hệ thống trước khi tính (giờ – phút, km – m).
• Đọc kỹ đề bài để tránh nhầm lẫn giữa đại lượng cần tìm và đại lượng đã cho.
• Kiểm tra lại kết quả bằng cách thế vào đề bài.