Cách giải bài toán Bài 4: Phép nhân và phép chia đa thức một biến – Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 7

1. Giới thiệu về bài toán phép nhân và phép chia đa thức một biến

Bài toán phép nhân và phép chia đa thức một biến là một trong những chủ đề cốt lõi của chương 'Biểu thức đại số' trong chương trình Toán 7. Việc thành thạo các phép toán này không chỉ giúp học sinh giải quyết tốt các bài tập trên lớp, mà còn là nền tảng để học các kiến thức đại số quan trọng hơn ở các lớp trên, như phân tích đa thức, giải phương trình, hàm số bậc nhất, bậc hai... Việc hiểu và vận dụng đúng các kỹ thuật nhân chia đa thức giúp phát triển tư duy logic, rèn luyện kỹ năng giải toán chính xác và nhanh chóng.

2. Đặc điểm của dạng bài toán này

Các bài toán về phép nhân và phép chia đa thức một biến có các đặc điểm sau:

• Tất cả các đa thức đều là các biểu thức có một biến (thường là x).
• Nhân hoặc chia đa thức với từng hạng tử theo các quy tắc đã học.
• Yêu cầu thực hiện các phép toán chính xác và rút gọn kết quả.
• Có thể yêu cầu tìm thương, dư hoặc kiểm tra phép chia hết/không hết.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Để giải tốt các bài toán về phép nhân và phép chia đa thức một biến, học sinh cần tuân theo các bước tổng thể sau:

• Đọc kỹ đề, xác định rõ yêu cầu bài toán là nhân, chia, rút gọn hay kiểm tra tính chia hết.
• Phân tích cấu trúc đa thức: xác định bậc, số hạng tử, hệ số.
• Áp dụng đúng thứ tự các phép toán (ưu tiên nhân, chia trước khi cộng trừ).
• Thực hiện từng bước cẩn thận, kiểm tra lại kết quả, đặc biệt là trong phép chia.

4. Các bước giải quyết bài toán với ví dụ minh họa

a) Phép nhân đa thức một biến

Phép nhân đa thức một biến là phép nhân một đơn thức với một đa thức, hoặc hai đa thức bất kỳ. Các bước thực hiện như sau:

1. Nhân từng hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia.
2. Cộng các kết quả lại, rút gọn các hạng tử đồng dạng nếu có.
3. Viết đáp án cuối cùng dưới dạng đa thức được sắp xếp theo lũy thừa giảm dần hoặc tăng dần của biến.

Ví dụ 1: Nhân hai đa thức

Tính$P(x) = (2x + 3)(x^2 - x + 1)$

Giải:

$<br />P(x) = (2x + 3)(x^2 - x + 1)<br />$

Dùng phương pháp phân phối:

$<br />= 2x(x^2 - x + 1) + 3(x^2 - x + 1)<br />$
$<br />= 2x^3 - 2x^2 + 2x + 3x^2 - 3x + 3<br />$
Rút gọn:

$<br />= 2x^3 + ( -2x^2 + 3x^2 ) + ( 2x - 3x ) + 3<br />$
$<br />= 2x^3 + x^2 - x + 3<br />$

b) Phép chia đa thức một biến cho đơn thức

1. Đảm bảo mỗi số hạng của đa thức đều chia hết cho đơn thức.
2. Chia từng số hạng của đa thức cho đơn thức cho trước.
3. Rút gọn kết quả nhận được.

Ví dụ 2: Chia đa thức cho đơn thức

Chia$A(x) = 6x^4 - 9x^3 + 15x^2$cho đơn thức$3x^2$

Giải:

$<br />\frac{6x^4 - 9x^3 + 15x^2}{3x^2}<br />$

=$\frac{6x^4}{3x^2} - \frac{9x^3}{3x^2} + \frac{15x^2}{3x^2}$

=$2x^2 - 3x + 5$

c) Phép chia đa thức một biến cho đa thức

Phép chia đa thức một biến cho đa thức giống như phép chia số tự nhiên, thực hiện theo các bước sau:

1. Sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến.
2. Lấy hạng tử bậc cao nhất của số bị chia chia cho hạng tử bậc cao nhất của số chia, được thương tạm thời.
3. Nhân thương tạm thời với số chia rồi trừ kết quả vào số bị chia, được đa thức mới.
4. Lặp lại quá trình cho đến khi bậc của đa thức còn lại nhỏ hơn bậc của số chia.

Ví dụ 3: Chia đa thức cho đa thức

Chia$B(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2$cho$x - 2$

Giải:

Thực hiện phép chia từng bước:

Bước 1:$\frac{x^3}{x} = x^2$

Nhân$x^2$với$x - 2$:$x^2(x - 2) = x^3 - 2x^2$

Lấy$B(x)$trừ cho kết quả trên:

$x^3 - 4x^2 + 5x - 2 - (x^3 - 2x^2) = (-4x^2 + 2x^2) + 5x - 2 = -2x^2 + 5x - 2$

Bước 2:$\frac{-2x^2}{x} = -2x$

Nhân$-2x$với$x - 2$:$-2x(x - 2) = -2x^2 + 4x$

Lấy kết quả trước trừ đi:

$(-2x^2 + 5x - 2) - (-2x^2 + 4x) = (5x - 4x) - 2 = x - 2$

Bước 3:$\frac{x}{x} = 1$

Nhân$1$với$x - 2$:$x - 2$

Trừ tiếp:$(x - 2) - (x - 2) = 0$

Vậy$B(x): (x - 2) = x^2 - 2x + 1$.

5. Công thức và kỹ thuật cần ghi nhớ

• Nhân đơn thức với đa thức:$a(x) \cdot [b(x) + c(x)] = a(x)b(x) + a(x)c(x)$
• Nhân hai đa thức: sử dụng phương pháp phân phối từng hạng tử.
• Chia đa thức cho đơn thức: chia từng hạng tử (nếu đều chia hết).
• Nhớ rút gọn các hạng tử đồng dạng sau mỗi phép toán.

6. Các biến thể bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Một số biến thể thường gặp:

• Phép nhân/chia đa thức chứa số âm, hệ số đặc biệt (hệ số 0, 1, -1...)
• Những bài toán yêu cầu phân tích, kiểm tra chia hết.
• Nhân/chia đa thức ở dạng tổng quát hoặc biểu thức đại số phức tạp hơn.

Khi gặp các biến thể trên, học sinh cần chú ý kiểm tra kỹ từng hệ số, lưu ý dấu và khả năng rút gọn.

7. Bài tập mẫu kèm lời giải chi tiết

Bài 1: Thực hiện phép nhân đa thức

Tính$M(x) = (x^2 + 2x)(3x - 1)$

Giải:

$<br />M(x) = (x^2 + 2x)(3x - 1)<br />= x^2 \cdot 3x + x^2 \cdot (-1) + 2x \cdot 3x + 2x \cdot (-1)<br />= 3x^3 - x^2 + 6x^2 - 2x<br />= 3x^3 + 5x^2 - 2x<br />$

Bài 2: Thực hiện phép chia đa thức cho đơn thức

Tính$N(x) = 12x^3 - 6x^2 + 9x$chia cho$3x$.

Giải:

$<br />N(x) = \frac{12x^3 - 6x^2 + 9x}{3x}<br />= \frac{12x^3}{3x} - \frac{6x^2}{3x} + \frac{9x}{3x} <br />= 4x^2 - 2x + 3<br />$

Bài 3: Chia đa thức cho đa thức

Chia$Q(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2$cho$x + 1$

Giải:

Thực hiện phép chia từng bước:

$\frac{x^3}{x} = x^2$;$x^2(x + 1) = x^3 + x^2$

$(x^3 + 2x^2 - x - 2) - (x^3 + x^2) = x^2 - x - 2$

$\frac{x^2}{x} = x$;$x(x + 1) = x^2 + x$

$(x^2 - x - 2) - (x^2 + x) = -2x - 2$

$\frac{-2x}{x} = -2$;$-2(x + 1) = -2x - 2$

$(-2x - 2) - (-2x - 2) = 0$

Kết quả:$Q(x): (x + 1) = x^2 + x - 2$.

8. Bài tập thực hành

Hãy tự luyện tập với các bài sau và đối chiếu kết quả:

• a) Nhân đa thức$(2x - 3)(x^2 + x)$
• b) Chia$10x^4 - 20x^3 + 15x^2$cho$5x^2$
• c) Chia$x^3 - 5x^2 + 8x - 4$cho$x - 2$và tìm thương, dư nếu có.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn sắp xếp các số hạng theo lũy thừa giảm dần của biến để dễ thao tác.
• Chú ý dấu (dương/âm) khi nhân, chia đa thức.
• Với phép chia cho đơn thức, phải kiểm tra từng số hạng đều chia hết.
• Sau khi nhân/chia phải rút gọn, gộp các hạng tử đồng dạng.
• Sau mỗi phép tính nên kiểm tra lại kết quả và làm cẩn thận bước trung gian.