Chiến lược giải bài toán áp dụng tính chất ba đường phân giác của tam giác lớp 7

1. Giới thiệu về bài toán áp dụng tính chất ba đường phân giác của tam giác

Trong chương trình Toán lớp 7, bài toán về "Áp dụng tính chất ba đường phân giác của tam giác" đóng vai trò vô cùng quan trọng trong học phần Hình học phẳng. Các bài toán này giới thiệu cho học sinh khái niệm về đường phân giác, điểm giao ba đường phân giác (tâm đường tròn nội tiếp) và những ứng dụng thực tế giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tư duy logic, vận dụng công thức toán học và giải quyết vấn đề.

2. Phân tích đặc điểm của loại bài toán này

• • Đối tượng khai thác là tam giác và các đường phân giác.
• • Vận dụng hệ thức phân giác: phân giác chia cạnh đối diện thành 2 đoạn thẳng tỉ lệ với 2 cạnh kề.
• • Liên quan đến tâm đường tròn nội tiếp tam giác – giao điểm ba đường phân giác.
• • Bài toán thường yêu cầu tìm độ dài đoạn thẳng, chứng minh các tỉ số, tính bán kính đường tròn nội tiếp, hoặc dựng hình.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

• • Vẽ hình chính xác, ký hiệu rõ ràng các phân giác và điểm giao (tâm đường tròn nội tiếp).
• • Ghi nhớ và vận dụng hệ thức đường phân giác:
• Nếu$AD$là phân giác trong của tam giác$ABC$($D \in BC$) thì $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$
• • Xác định rõ yêu cầu đề bài (tìm độ dài, chứng minh, dựng hình).
• • Tìm công thức thích hợp: hệ thức phân giác, chu vi tam giác, công thức bán kính đường tròn nội tiếp.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Chúng ta hãy cùng đi qua từng bước giải bài toán điển hình:

• Bước 1: Vẽ hình và ký hiệu rõ các điểm, đường phân giác, đoạn thẳng cần tìm.
• Bước 2: Áp dụng hệ thức đường phân giác để thiết lập các tỉ số.
• Bước 3: Giải phương trình hoặc hệ phương trình theo dữ kiện đề bài.
• Bước 4: Kiểm tra lại tính hợp lý của kết quả và trả lời câu hỏi.

Ví dụ minh họa:

Cho tam giác$ABC$có $AB=8$cm,$AC=6$cm,$BC=10$cm. Gọi$AD$là phân giác trong của góc$A$($D \in BC$). Tính độ dài đoạn$BD$và $DC$.

• - Áp dụng công thức phân giác:
• $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
• - Gọi$BD = 4x$,$DC = 3x$, ta có:
• $BD + DC = BC \Rightarrow 4x + 3x = 10 \Rightarrow 7x = 10 \Rightarrow x = \frac{10}{7}$
• - Vậy$BD = 4x = \frac{40}{7}$cm,$DC = 3x = \frac{30}{7}$cm.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Hệ thức đường phân giác trong tam giác$ABC$, phân giác$AD$(với$D \in BC$):

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$

• Công thức tính độ dài phân giác:

$AD = \frac{2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \left(\frac{A}{2}\right)}{AB + AC}$

• Công thức bán kính đường tròn nội tiếp:

$r = \frac{S}{p}$
trong đó $S$là diện tích tam giác,$p$là nửa chu vi.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

• Nếu là phân giác ngoài, hệ thức có điều chỉnh:$\frac{BD}{DC} = -\frac{AB}{AC}$.
• Dạng bài yêu cầu dựng phân giác, hãy chú ý kẻ đúng thứ tự và sử dụng thước, compa.
• Nếu bài toán kết hợp đường phân giác với trung tuyến, hãy xét tới các tỉ số khác và các tính chất tổng hợp.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập mẫu:
Cho tam giác$ABC$có $AB=5$cm,$AC=7$cm,$BC=8$cm. Đường phân giác trong$AD$($D \in BC$). Tính$BD$và $DC$.

• Giải:
  • Áp dụng hệ thức phân giác:$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{7}$
• Đặt$BD=5x$,$DC=7x$, ta có $BD+DC=BC \Rightarrow 5x+7x=8 \Rightarrow 12x=8 \Rightarrow x=\frac{2}{3}$
• $BD=5x=\frac{10}{3}$cm,$DC=7x=\frac{14}{3}$cm.

8. Bài tập thực hành tự luyện

• 1. Cho tam giác$ABC$có $AB=9$cm,$AC=12$cm,$BC=15$cm. Gọi$AD$là phân giác trong góc$A$($D \in BC$). Tính độ dài$BD$và $DC$.
• 2. Cho tam giác$ABC$có $AB=6$cm,$AC=10$cm,$BC=12$cm. Kẻ phân giác$AD$($D \in BC$). Tính diện tích tam giác$ABD$biết$S_{ABC}=30$cm$^2$.
• 3. Chứng minh rằng$AD$là phân giác trong của tam giác$ABC$nếu và chỉ nếu$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$.

9. Các mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• • Đừng nhầm công thức tỉ số của phân giác với trung tuyến!
• • Luôn ký hiệu rõ các đoạn thẳng để tránh nhầm lẫn giữa các cạnh.
• • Khi vận dụng công thức bán kính đường tròn nội tiếp, nhớ xác định chính xác diện tích và nửa chu vi.
• • Nếu tỉ số phân giác không là số nguyên, hãy đặt ẩn phù hợp để dễ tính toán.
• • Luyện vẽ hình nhiều để nâng cao kỹ năng nhận diện các đường phân giác!