Chiến lược giải bài toán áp dụng tính chất của tỉ lệ thức cho học sinh lớp 7

1. Giới thiệu về loại bài toán & Tầm quan trọng

Bài toán áp dụng tính chất của tỉ lệ thức là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình Toán lớp 7. Tỉ lệ thức giúp học sinh rèn luyện khả năng tư duy logic, hiểu sâu hơn về mối liên hệ giữa các đại lượng, tiền đề cho việc học phương trình và giải toán ở các lớp cao hơn.

2. Đặc điểm nhận dạng bài toán áp dụng tỉ lệ thức

Các bài toán thuộc chủ đề này thường yêu cầu chứng minh hai tỉ số bằng nhau (hoặc ba, bốn đại lượng lập thành dãy tỉ số bằng nhau), tìm một đại lượng chưa biết khi biết các đại lượng còn lại hoặc sử dụng các tính chất cơ bản của tỉ lệ thức để biến đổi, rút gọn biểu thức số học.

• Dạng toán tìm số chưa biết trong tỉ lệ thức:$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$
• Dạng toán chứng minh dãy tỉ số bằng nhau:$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}$
• Dạng toán áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm ẩn hoặc chứng minh một hệ thức.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán

Để làm tốt bài toán áp dụng tính chất của tỉ lệ thức, học sinh cần tuân theo các bước chiến lược dưới đây:

• Xác định dạng toán: Tìm đại lượng, chứng minh tỉ số hay rút gọn biểu thức.
• Viết lại đề bài dưới dạng tỉ lệ thức hoặc dãy tỉ số bằng nhau.
• Áp dụng các tính chất cơ bản (tính chất cơ bản, tính chất hoán vị, tính chất cộng, trừ, nhân, chia...).
• Kết hợp biến đổi đại số (quy đồng, nhóm, so sánh, thay thế...).

4. Các bước giải bài toán tỉ lệ thức chi tiết cùng ví dụ minh họa

Hãy xét một ví dụ minh họa phổ biến:

Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức$\frac{x}{6} = \frac{9}{12}$. Hãy tìm giá trị của$x$.

• Bước 1: Viết lại tỉ lệ thức:$\frac{x}{6} = \frac{9}{12}$
• Bước 2: Biến đổi về phương trình bằng cách nhân chéo:
  $x \times 12 = 9 \times 6$
• Bước 3: Tính toán ra$x$:
  $x \times 12 = 54 \Rightarrow x = \frac{54}{12} = 4,5$

Vậy$x = 4,5$.

Các bước cụ thể khi giải dạng bài này như sau:

• Bước 1: Nhận diện tỉ lệ thức hoặc dãy tỉ số bằng nhau.
• Bước 2: Viết lại bài toán thành phương trình hoặc hệ phương trình (nếu cần).
• Bước 3: Áp dụng các tính chất của tỉ lệ thức (nhân chéo, tính chất dãy tỉ số bằng nhau, cộng/ trừ các phần tử tương ứng).
• Bước 4: Thực hiện phép biến đổi đại số và tính toán kết quả.
• Bước 5: Kiểm tra lại kết quả đã hợp lý, đúng yêu cầu đề bài chưa.

Ví dụ 2 (Dạng dãy tỉ số bằng nhau):

Cho$x, y, z$thỏa mãn$\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$và $x + y + z = 18$. Tìm$x, y, z$.

Giải:

• Đặt$\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} = k$.
• Suy ra$x = 2k$,$y = 3k$,$z = 4k$.
• Theo đề bài:$x + y + z = 18 \Rightarrow 2k + 3k + 4k = 18 \Rightarrow 9k = 18 \Rightarrow k = 2$.
• Vậy$x = 4$,$y = 6$,$z = 8$.

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Nếu$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$thì $ad = bc$(tính chất cơ bản của tỉ lệ thức).
• Dãy tỉ số bằng nhau
  $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \\ldots = k \Rightarrow a = bk, c = dk, e = fk, \\ldots$$
• Nếu$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$thì $\frac{a + c}{b + d} = \frac{a - c}{b - d} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$(tính chất cộng/ trừ các phần tử tương ứng).
• Kỹ thuật chọn ẩn k trong dãy tỉ số, quy về một biến khi gặp hệ nhiều đại lượng.

6. Biến thể thường gặp & Cách điều chỉnh chiến lược

\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=t với $t=2$ , từ đó thu được $x=4$ , $y=6$ , $z=8$ sao cho $x+y+z=18$ " title="Hình minh họa: Biểu đồ cột minh họa phân tích tỉ lệ \frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=t với $t=2$ , từ đó thu được $x=4$ , $y=6$ , $z=8$ sao cho $x+y+z=18$ " class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

Các biến thể phổ biến:

• Bài toán tìm các đại lượng, biết tổng (hoặc hiệu) của chúng.
• Bài toán tìm tỉ số hoặc chứng minh một biểu thức là tỉ lệ thức.
• Bài toán về chia tỉ lệ theo một tổng hay hiệu nhất định.

Cách điều chỉnh chiến lược: Dù đề bài yêu cầu gì, hãy luôn đặt các đại lượng theo cùng một biến$k$nếu gặp dãy tỉ số bằng nhau, hoặc biến đổi theo tính chất tỉ lệ thức khi cần chứng minh hay tìm ẩn. Khi có tổng/hiệu, biến đổi bài toán về một phương trình để giải.

7. Bài tập mẫu & Lời giải chi tiết

Bài 1: Biết$\frac{x}{3} = \frac{y}{4}$và $x + y = 21$. Hãy tìm$x$và $y$.

• Bước 1:$\frac{x}{3} = \frac{y}{4} \Rightarrow \frac{x}{3} = \frac{y}{4} = k$
• Suy ra:$x = 3k$,$y = 4k$
• Bước 2:$x + y = 21 \Rightarrow 3k + 4k = 7k = 21 \Rightarrow k = 3$
• Vậy$x = 3 \times 3 = 9$,$y = 4 \times 3 = 12$

Bài 2: Cho$\frac{a}{5} = \frac{b}{8}$và $a - b = -9$. Tìm$a, b$.

• $\frac{a}{5} = \frac{b}{8} = k \Rightarrow a = 5k, b = 8k$
• $a - b = -9 \Rightarrow 5k - 8k = -3k = -9 \Rightarrow k = 3$
• $a = 15, b = 24$

8. Bài tập thực hành tự luyện

Học sinh hãy tự giải các bài sau và kiểm tra đáp án sau khi làm:

• Bài 1: Cho$\frac{x}{5} = \frac{y}{7}$và $x + y = 48$. Tìm$x, y$.
• Bài 2: Cho$\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5}$và $a + b + c = 36$. Tìm$a, b, c$.
• Bài 3: Cho$\frac{x}{2} = \frac{y}{3}$và $x - y = -4$. Tìm$x, y$.
• Bài 4: Chứng minh rằng nếu$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$thì $\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b}$.

9. Mẹo & Lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Luôn kiểm tra xem mẫu số có khác 0 không trước khi biến đổi.
• Đặt ẩn$k$hợp lý khi có dãy tỉ số bằng nhau để quy về một biến.
• Sau khi giải xong, hãy thay ngược lại để kiểm tra đáp số.
• Chú ý lưu lại đáp số với điều kiện đã cho để tránh nhầm lẫn âm/dương hoặc quên loại nghiệm.
• Đọc kỹ đề, xác định rõ dạng bài để chọn kỹ thuật giải thích hợp.

Hy vọng bài viết trên sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về cách giải bài toán áp dụng tính chất của tỉ lệ thức và thành thạo hơn khi luyện tập Toán 7.