Chiến lược giải bài toán Ba đường cao của tam giác cho học sinh lớp 7

1. Giới thiệu về dạng bài toán Ba đường cao của tam giác

Bài toán Ba đường cao của tam giác là một trong những dạng bài quan trọng của chương Hình học lớp 7. Trong tam giác, mỗi đỉnh đều có thể kẻ ra một đường cao, ba đường cao này đồng quy tại một điểm gọi là trực tâm. Học cách giải bài toán ba đường cao giúp học sinh hiểu rõ các tính chất hình học cơ bản, hỗ trợ rất nhiều cho các bài toán liên quan đến vị trí, diện tích, chứng minh hoặc tìm mối liên hệ giữa các yếu tố trong tam giác. Việc thành thạo cách giải bài toán này còn giúp học sinh xây dựng nền tảng vững chắc cho các khái niệm hình học ở các lớp trên.

2. Đặc điểm nhận biết bài toán về Ba đường cao của tam giác

• Bài toán thường yêu cầu chứng minh ba đường cao đồng quy.
• Tìm tọa độ (hoặc vị trí) trực tâm.
• Liên hệ giữa các độ dài đoạn thẳng chứa hoặc liên quan đến đường cao.
• Tính diện tích dựa vào các đường cao.
• Chứng minh các tính chất đặc biệt của tam giác khi biết vị trí đường cao (vuông, cân, đều,...).

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận cách giải bài toán Ba đường cao của tam giác

• Vẽ hình chính xác và đủ các yếu tố: tam giác, 3 đường cao, các điểm giao cần thiết.
• Sử dụng định nghĩa: Đường cao là đường thẳng kẻ từ 1 đỉnh vuông góc với cạnh đối diện hoặc phần kéo dài của cạnh đối diện.
• Áp dụng các tính chất đồng quy của ba đường cao (giao tại trực tâm).
• Kết hợp các kiến thức về diện tích tam giác, định lý Py-ta-go, các tính chất vuông góc, đồng dạng,...

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác$ABC$. Từ các đỉnh$A, B, C$vẽ các đường cao$AD, BE, CF$(các điểm$D, E, F$lần lượt là chân đường cao). Chứng minh rằng ba đường cao này đồng quy tại một điểm duy nhất – gọi là trực tâm$H$của tam giác.

• Bước 1: Vẽ tam giác$ABC$. Từ mỗi đỉnh kẻ một đường cao. Đặt tên các giao điểm chân đường cao lần lượt là $D, E, F$.
• Bước 2: Chứng minh hai đường cao$AD$và $BE$cắt nhau tại$H$.
• Bước 3: Chứng minh$CF$cũng đi qua$H$(chứng minh ba đường thẳng đồng quy).

Để chứng minh ba đường cao đồng quy, sử dụng tính chất: Nếu hai đường cao cắt nhau tại một điểm$H$, thì đường thẳng qua đỉnh còn lại và vuông góc với cạnh đối cũng phải đi qua$H$.

Dùng kiến thức về phép vuông góc, đồng dạng tam giác nhỏ tạo bởi các đoạn vuông góc, hoặc sử dụng hệ tọa độ nếu đề bài cho tọa độ các điểm.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Đường cao là đoạn thẳng từ một đỉnh vuông góc với cạnh đối diện (hoặc phần kéo dài của cạnh đối diện).
• Công thức tính diện tích tam giác dùng đường cao:$S_{ABC} = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b = \frac{1}{2} c h_c$, trong đó $h_a, h_b, h_c$lần lượt là đường cao ứng với các cạnh$a, b, c$.
• Trong tam giác nhọn, trực tâm nằm trong tam giác; tam giác vuông, trực tâm trùng với đỉnh vuông; tam giác tù, trực tâm nằm ngoài tam giác.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Dạng 1: Bài toán cho tam giác có số đo cụ thể các cạnh, yêu cầu tính độ dài đường cao hoặc chứng minh ba đường cao đồng quy.

Dạng 2: Bài toán cho trước tọa độ ba đỉnh, yêu cầu xác định tọa độ trực tâm (kết hợp giải hệ phương trình).

Dạng 3: Bài toán liên quan đến diện tích tam giác hoặc các mối quan hệ đặc biệt khi ba đường cao cắt nhau.

Chiến lược điều chỉnh: Xác định rõ bài toán thuộc dạng nào để chọn kỹ thuật phù hợp (dùng hệ thức lượng, hệ trục tọa độ, hoặc các tính chất hình học thuần túy).

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập: Cho tam giác$ABC$với$AB = 10cm$,$AC = 8cm$,$BC = 6cm$. Kẻ các đường cao$AD, BE, CF$. Tính diện tích tam giác$ABC$và độ dài các đường cao$AD, BE, CF$.

• Bước 1: Tính diện tích tam giác bằng công thức Heron:
• + Nửa chu vi:$p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{10 + 8 + 6}{2} = 12$
• + $S = \sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)} = \sqrt{12 \times 2 \times 4 \times 6} = \sqrt{576} = 24(cm^2)$
• Bước 2: Tính đường cao$AD$ ứng với$BC$:
• $AD = \frac{2S}{BC} = \frac{2 \times 24}{6} = 8(cm)$
• Tương tự,$BE = \frac{2S}{AC} = \frac{48}{8} = 6(cm)$và $CF = \frac{2S}{AB} = \frac{48}{10} = 4,8(cm)$.

8. Bài tập thực hành

Bài tập 1: Cho tam giác$ABC$, biết$AB = 13cm$,$AC = 15cm$,$BC = 14cm$. Kẻ các đường cao$AD, BE, CF$. Tính các đường cao và diện tích tam giác.

Bài tập 2: Trong tam giác$DEF$có diện tích$30cm^2$và chiều cao từ $D$xuống cạnh$EF$là $12cm$. Tính độ dài cạnh$EF$.

Bài tập 3: Cho tam giác$XYZ$với các đường cao cắt nhau tại$H$. Hãy nêu vị trí của trực tâm$H$nếu tam giác$XYZ$là tam giác nhọn, tam giác vuông, hoặc tam giác tù.

9. Các mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Vẽ hình chính xác, thể hiện rõ các đường cao và điểm giao.
• Chú ý phân biệt giữa đường cao và các đường trung tuyến, trung trực, phân giác.
• Áp dụng đúng công thức tính diện tích tam giác và công thức tính đường cao.
• Khi sử dụng tọa độ, lưu ý xác định chính xác phương trình đường thẳng vuông góc.
• Kiểm tra kỹ các phép tính số học khi tính diện tích hoặc độ dài đường cao.

Kết luận

Trên đây là hướng dẫn cách giải bài toán ba đường cao của tam giác cho học sinh lớp 7. Nắm vững các bước cơ bản, các công thức, hình vẽ và phương pháp tiếp cận giúp học sinh chủ động và tự tin giải quyết các dạng bài liên quan. Hãy luyện tập thường xuyên với nhiều ví dụ khác nhau để thành thạo kỹ năng này!