Blog

Chiến lược giải bài toán Bài 1. Số vô tỉ. Căn bậc hai số học lớp 7

T
Tác giả
7 phút đọc
Chia sẻ:
7 phút đọc

1. Giới thiệu về "Bài 1. Số vô tỉ. Căn bậc hai số học" và vai trò quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 7, "Bài 1. Số vô tỉ. Căn bậc hai số học" là nền tảng quan trọng giúp học sinh nắm rõ khái niệm về số vô tỉ và hiểu cách tính toán với căn bậc hai. Việc hiểu sâu và vận dụng thành thạo các dạng bài này không chỉ là chìa khóa mở đầu cho chương số thực mà còn là bước chuyển tiếp cần thiết để giải quyết các dạng toán phức tạp hơn ở cấp học tiếp theo. Nắm vững cách giải bài toán số vô tỉ và căn bậc hai số học giúp học sinh phát triển tư duy logic, rèn kỹ năng tính toán chính xác cũng như hình thành nền tảng vững chắc về lĩnh vực số học hiện đại.

2. Đặc điểm của bài toán số vô tỉ và căn bậc hai số học

Các dạng toán thuộc bài số vô tỉ và căn bậc hai số học thường tập trung vào:

Nhận biết số vô tỉ và phân biệt với số hữu tỉ.

Biểu diễn căn bậc hai của một số tự nhiên không phải là số chính phương.

Tính toán và rút gọn các biểu thức chứa căn bậc hai.

So sánh giá trị các căn bậc hai.

Chứng minh một số là số vô tỉ.

Những bài toán này yêu cầu học sinh kiến tạo kỹ năng phân biệt, tính toán, suy luận bằng các công thức và kỹ thuật đặc thù.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Khi gặp các bài toán về số vô tỉ và căn bậc hai số học, học sinh nên thực hiện theo các bước sau:

Đọc kỹ đề bài, xác định yêu cầu chính.

Nhận diện loại số (hữu tỉ, vô tỉ), kiểm tra số chính phương.

Áp dụng công thức xác định căn bậc hai, quy tắc rút gọn căn.

Tính toán, rút gọn, so sánh hoặc chứng minh theo yêu cầu.

Kiểm tra và trình bày lại kết quả hợp lý.

4. Các bước giải bài toán số vô tỉ và căn bậc hai số học

Để giải hiệu quả, hãy tham khảo các bước cơ bản dưới đây kèm ví dụ minh họa:

Bước 1: Xác định số chính phương, căn bậc hai

Một số tự nhiên aa được gọi là số chính phương nếu tồn tại số tự nhiên kk sao cho a=k2a = k^2 . Khi đó, extCa˘nbchaiso^ˊhccaaextlaˋextchla^ˊyke^ˊtqudương\boxed{ext{Căn bậc hai số học của}a ext{là} \boxed{ext{chỉ lấy kết quả dương}}} .

Ví dụ: 16=4216 = 4^2 nên extca˘nbchaiso^ˊhcca16extlaˋ4\boxed{ext{căn bậc hai số học của} 16 ext{là} 4} .

Bước 2: Nhận diện số vô tỉ

Số vô tỉ là số không thể viết được dưới dạng phân số pq\frac{p}{q}vớip,qZ,q0p, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0. Khi căn bậc hai của số tự nhiên không là số chính phương, nó là số vô tỉ.

Ví dụ: 2\sqrt{2}, 5\sqrt{5},... là số vô tỉ vì không thể biểu diễn dưới dạng phân số.

Bước 3: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Sử dụng quy tắc: a2b=ab(a>0,b0)\sqrt{a^2b} = a\sqrt{b} \quad (a > 0, b \ge 0)

Ví dụ: 12=4×3=4×3=23\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}.

Bước 4: So sánh hai căn bậc hai

So sánh a\sqrt{a}b\sqrt{b}dựa vàoaabb(vì căn bậc hai là hàm đồng biến vớix0x \geq 0).

Ví dụ: So sánh 7\sqrt{7}10\sqrt{10}7<107 < 10nên7<10\sqrt{7} < \sqrt{10}.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

ab=a×b, a0, b0\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b},~ a \geq 0,~ b \geq 0

ab=ab, a0, b>0\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},~ a \geq 0,~ b > 0

(a)2=a, a0(\sqrt{a})^2 = a,~ a \geq 0

Ký hiệu căn bậc hai số học là sqrtasqrt{a}vớia0a\ge 0, và luôn lấy kết quả dương.

Số vô tỉ tiêu biểu: 2,3,π,e,...\sqrt{2}, \sqrt{3}, \pi, e,...

6. Các biến thể của bài toán và chiến lược điều chỉnh

Ngoài các dạng toán cơ bản, có thể gặp biến thể như:

Biểu diễn số vô tỉ dưới dạng thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Chứng minh một số là số vô tỉ dựa vào định nghĩa.

Rút gọn các biểu thức phức tạp chứa đa căn.

So sánh hai số dạng aba\sqrt{b}cdc\sqrt{d} bằng cách quy đồng.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập 1: Chứng minh 2\sqrt{2} là số vô tỉ.

Giải:

Giả sử 2\sqrt{2}là số hữu tỉ, tức tồn tạipq\frac{p}{q}(vớip,qp,qnguyên,q0q \neq 0, gcd(p,q)=1\gcd(p,q) = 1) sao cho:

2=pq    2=p2q2    p2=2q2\sqrt{2} = \frac{p}{q} \implies 2 = \frac{p^2}{q^2} \implies p^2 = 2q^2

Điều này cho thấyp2p^2là số chẵn nênppcũng chẵn. Đặtp=2kp = 2k(kknguyên),

p2=(2k)2=4k2    4k2=2q2    2k2=q2p^2 = (2k)^2 = 4k^2 \implies 4k^2 = 2q^2 \implies 2k^2 = q^2

Suy ra q2q^2chẵn, nênqqchẵn, mâu thuẫn vớigcd(p,q)=1\gcd(p,q) = 1. Vậy 2\sqrt{2} là số vô tỉ.

Bài tập 2: Rút gọn 75\sqrt{75}.

Giải:

75=25×3=25×3=53\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3}

Bài tập 3: So sánh 252\sqrt{5}333\sqrt{3}.

Giải:

Ta bình phương hai bên:

(25)2=4×5=20;(33)2=9×3=27(2\sqrt{5})^2 = 4 \times 5 = 20; \quad (3\sqrt{3})^2 = 9 \times 3 = 27

20<2720 < 27nên25<332\sqrt{5} < 3\sqrt{3}.

8. Bài tập tự luyện

Rút gọn các biểu thức sau:
a) 8\sqrt{8}
b)18\sqrt{18}
c)45\sqrt{45}

So sánh các số sau:
a) 11\sqrt{11}13\sqrt{13}
b) 323\sqrt{2}414\sqrt{1}

Chứng minh các số sau là số vô tỉ:
a) 3\sqrt{3}
b) 7\sqrt{7}

Viết số thập phân gần đúng đến hai chữ số thập phân của 5\sqrt{5} (Sử dụng máy tính hoặc tính nhẩm).

9. Mẹo và lưu ý khi giải toán căn bậc hai số học

Luôn lấy căn bậc hai số học là số không âm.

Đừng quên kiểm tra xem số đã là số chính phương chưa, nếu có thì rút gọn luôn.

Khi so sánh hai số dạng aba\sqrt{b}, hãy bình phương hai vế để so sánh hệ số bên trong căn.

Luôn trình bày lời giải thành từng bước rõ ràng

Thận trọng tránh nhầm lẫn căn bậc hai số học với căn âm

Với chiến lược trên, học sinh có thể tự tin áp dụng cách giải bài toán số vô tỉ, căn bậc hai số học trong học tập cũng như các kỳ kiểm tra quan trọng.

Tổng kết

Bài viết đã hệ thống hóa cách giải bài toán số vô tỉ, căn bậc hai số học phù hợp cho học sinh lớp 7 với các bước rõ ràng, ví dụ minh họa, công thức và bài tập luyện tập cụ thể. Hi vọng học sinh sẽ áp dụng tốt, luyện tập thường xuyên để đạt kết quả cao nhất khi học Toán chương số thực lớp 7.

Tài liệu tham khảo

- Sách giáo khoa Toán 7 (Bộ GD-ĐT)
- Sách bài tập Toán 7
- Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".