Chiến lược giải các bài toán Đường xiên lớp 7 – Hướng dẫn chi tiết, ví dụ minh họa & luyện tập

1. Giới thiệu về bài toán đường xiên và tầm quan trọng

Bài toán về 'Đường xiên' là một trong những nội dung cốt lõi trong chương trình Toán lớp 7, thuộc chương hình học tam giác. Loại bài này xoay quanh các khái niệm đường vuông góc, đường xiên, đoạn vuông góc, đoạn xiên... Đây là nền tảng quan trọng cho các bài toán hình học phức tạp hơn ở các lớp trên, đặc biệt giúp rèn luyện logic và tư duy hình học.

2. Đặc điểm nhận dạng của bài toán đường xiên

• Các bài toán liên quan đến một điểm nằm ngoài (hoặc trên) một đường thẳng cho trước.
• Có một đường thẳng đóng vai trò là đường chuẩn (ví dụ cạnh đáy tam giác), từ đó kẻ vuông góc và xiên.
• Liên quan đến việc tính toán chiều dài đoạn thẳng (đường vuông góc, các đoạn xiên từ điểm đến đường).
• Hay sử dụng tính chất: "Trong các đoạn thẳng nối một điểm cố định với một đường thẳng, đoạn vuông góc ngắn nhất, các đoạn xiên bằng nhau thì các hình chiếu bằng nhau và ngược lại."

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán đường xiên

1. Đọc kỹ đề, hình dung hình vẽ. Đặt tên các điểm, đoạn thẳng rõ ràng.
2. Xác định đường vuông góc, các đoạn xiên, các hình chiếu liên quan.
3. Ghi nhớ và vận dụng các tính chất cơ bản: đường vuông góc ngắn nhất; đoạn xiên dài hơn đoạn vuông góc.
4. Nếu bài toán yêu cầu chứng minh, cần vẽ thêm phụ hình khi cần thiết.
5. Sử dụng các công thức đã học và biến đổi linh hoạt.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ điển hình:

Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d. Kẻ từ A một đoạn vuông góc AH và hai đoạn xiên AB, AC tới d. Gọi H, B, C là hình chiếu tương ứng của A trên d. Biết$AB = 5$cm,$AH = 3$cm. Tính độ dài HB.

1. Bước 1: Vẽ hình theo đề bài, xác định các điểm H, B, C.
2. Bước 2: Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ABH ($AB$là đoạn xiên,$AH$là đường vuông góc).
3. Ta có:$AB^2 = AH^2 + HB^2$
4. Thay số:$5^2 = 3^2 + HB^2 \Rightarrow 25 = 9 + HB^2 \Rightarrow HB^2 = 16 \Rightarrow HB = 4$(cm)

Kết luận: HB = 4cm.

5. Công thức và kĩ thuật cần nhớ

• Định lý đường vuông góc ngắn nhất: Trong các đoạn thẳng kẻ từ một điểm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng ấy, đoạn vuông góc là ngắn nhất.
• Công thức tính chiều dài đoạn xiên (dựa theo tam giác vuông): Nếu$AH$là đoạn vuông góc,$AB$là đoạn xiên,$HB$là hình chiếu thì:$AB^2 = AH^2 + HB^2$
• Nếu hai đoạn xiên bằng nhau thì hai hình chiếu của chúng lên đường thẳng bằng nhau.

6. Các biến thể của bài toán đường xiên & cách ứng phó

• Bài toán tìm điểm thỏa mãn: Yêu cầu vẽ hoặc xác định vị trí với điều kiện các đoạn xiên bằng nhau, tổng các đoạn xiên nhỏ nhất… → Sử dụng tính chất đoạn vuông góc ngắn nhất, trung điểm, phản xạ hoặc toàn phần.
• Bài toán có liên quan đến tam giác: Sử dụng thêm kiến thức về đường cao, trung tuyến, phân giác.
• Tổng quát hóa sang không gian (làm quen): Đường xiên và hình chiếu trong không gian, tam giác vuông trong không gian.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập: Cho điểm$A$nằm ngoài đường thẳng$d$. Kẻ đoạn vuông góc$AH$và hai đoạn xiên$AB$,$AC$cắt$d$tại$B$và $C$, biết$AH = 4$cm,$AB = 6$cm. Tính$HB$.

1. Bước 1: Vẽ hình, xác định$H$là hình chiếu của$A$trên$d$,$B$là giao điểm của đoạn xiên$AB$với$d$.
2. Bước 2: Xét tam giác vuông$ABH$tại$H$, ta có:
3. Công thức:$AB^2 = AH^2 + HB^2$
4. Thay số: $6^2 = 4^2 + HB^2 \Rightarrow 36 = 16 + HB^2 \Rightarrow HB^2 = 20 \Rightarrow HB = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ (cm).

Kết luận: $HB = 2\sqrt{5}$ cm.

8. Bài tập thực hành

• Bài 1: Cho điểm$M$nằm ngoài đường thẳng$d$. Kẻ đoạn vuông góc$MN$và đoạn xiên$MK$ đến$d$. Biết$MN = 5$cm,$NK = 12$cm. Tính$MK$.
• Bài 2: Từ $O$ngoài đường thẳng$a$, kẻ $OH$vuông góc$a$($H \in a$), kẻ thêm đoạn xiên$OK$($K \in a$), biết$OH = 3$cm,$HK = 4$cm. Tính$OK$.
• Bài 3: Cho$P$là điểm ngoài đường$b$,$PI$vuông góc$b$($I \in b$),$PJ$là đoạn xiên đến$b$($J \in b$). Biết$PI = 6$cm,$PJ = 10$cm. Tìm$IJ$.

9. Mẹo & lưu ý tránh sai lầm

• Luôn vẽ hình rõ ràng, đặt tên đúng vị trí (nếu nhầm lẫn hình chiếu sẽ sai tất cả các bước sau).
• Nắm rõ điểm nào là điểm ngoài, điểm nào là hình chiếu trên đường thẳng.
• Lưu ý sử dụng đúng định lý Py-ta-go, chỉ áp dụng cho tam giác vuông (điểm hình chiếu tạo góc vuông).
• Nếu bài yêu cầu các đoạn xiên bằng nhau thì hình chiếu của chúng cũng phải bằng nhau.
• Có thể thử giải ngược – bắt đầu từ giả thiết cần chứng minh để suy ngược về dữ kiện.

Hy vọng qua bài viết này, học sinh sẽ tránh được các lỗi cơ bản và thành thạo hơn với dạng toán đường xiên lúc luyện tập và kiểm tra. Đừng quên luyện tập thường xuyên để phương pháp giải bài toán đường xiên trở thành kỹ năng vững chắc!