Chiến lược giải bài toán tính giá trị của đa thức một biến - Lớp 7

1. Giới thiệu về bài toán tính giá trị của đa thức một biến

Bài toán tính giá trị của đa thức một biến là dạng toán quan trọng trong chương trình Toán lớp 7. Đa thức một biến là biểu thức có dạng tổng của các lũy thừa của một biến với hệ số số học, ví dụ như:$P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 8$. Bài toán thường yêu cầu tìm giá trị của đa thức$P(x)$tại một giá trị cụ thể của$x$. Loại bài toán này không chỉ giúp rèn luyện kỹ năng tính toán, mà còn là nền tảng cho các kiến thức nâng cao về hàm số, phương trình, bất phương trình sau này.

2. Đặc điểm của dạng bài toán này

• Đề bài thường cho một đa thức một biến$P(x)$và yêu cầu tính$P(a)$với$a$là một số cụ thể.
• Học sinh cần thay$x$bằng giá trị đã cho và thực hiện các phép toán cơ bản.
• Đa thức có thể có hệ số âm, số mũ lớn hoặc nhiều hạng tử.
• Có thể kết hợp với yêu cầu rút gọn, nhận xét kết quả hoặc giải bài toán ngược.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

• Đọc kỹ đề, xác định rõ đa thức cần tính và giá trị biến$x$cần thay thế.
• Thay$x$bằng giá trị đã cho vào từng hạng tử của đa thức.
• Tính giá trị các lũy thừa trước, sau đó nhân với hệ số.
• Cộng, trừ các giá trị vừa tìm được để ra kết quả cuối cùng.
• Kiểm tra lại kết quả từng bước để tránh sai sót.

4. Hướng dẫn chi tiết từng bước với ví dụ minh họa

Giả sử bài toán cho: Cho đa thức$A(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 7$. Hãy tính giá trị của$A(x)$tại$x = 2$.

• Bước 1: Xác định đa thức và giá trị của$x$. Ở đây,$A(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 7$,$x = 2$.
• Bước 2: Thay$x = 2$vào từng hạng tử:
  
  -$2x^3 ightarrow 2 imes (2)^3 = 2 \times 8 = 16$
  -$-3x^2 ightarrow -3 imes (2)^2 = -3 \times 4 = -12$
  -$5x ightarrow 5 \times 2 = 10$
  -$-7$giữ nguyên
• Bước 3: Cộng, trừ các giá trị vừa tìm:
  
  $A(2) = 16 + (-12) + 10 + (-7) = 16 - 12 + 10 - 7$
  
  $= (16 - 12) + (10 - 7) = 4 + 3 = 7$
• Bước 4: Kết luận: Giá trị của$A(2)$là $7$.

Có thể trình bày đầy đủ như sau:

Cách giải bài toán tính giá trị của đa thức một biến:

- Bước 1: Viết lại đa thức, xác định$x$cần tính.
- Bước 2: Thay giá trị $x$vào từng hạng tử.
- Bước 3: Tính giá trị từng hạng tử (chú ý dấu và lũy thừa).
- Bước 4: Cộng/trừ các kết quả lại để ra giá trị cuối cùng.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

Một số công thức cơ bản khi giải bài toán này:

• Công thức tổng quát:
  Nếu$P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +... + a_1x + a_0$, thì giá trị tại$x = k$là:
  
  $P(k) = a_nk^n + a_{n-1}k^{n-1} +... + a_1k + a_0$
  
• Tính lũy thừa:$(k^m)$là $k$nhân với chính nó $m$lần. Lưu ý dấu, với số âm cần có ngoặc.
• Kỹ thuật tính nhẩm chính xác các phép cộng, trừ, nhân nhỏ, tránh nhầm lẫn.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

• Tính giá trị của đa thức khi$x$là số âm, phân số hoặc số 0: Cần đặc biệt chú ý dấu và quy tắc tính lũy thừa với số âm.
• So sánh giá trị đa thức tại hai giá trị khác nhau của$x$.
• Yêu cầu ngược: Tìm$x$ để đa thức nhận giá trị cho trước.
• Tính giá trị của đa thức sau khi rút gọn, thu gọn các hạng tử đồng dạng.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho đa thức$B(x) = -x^2 + 4x - 1$. Tính$B(-3)$.

• Bước 1: Xác định đa thức, giá trị $x = -3$.
• Bước 2: Thay vào từng hạng tử:
  
  $-(-3)^2 + 4 imes (-3) - 1$
  
  $= -(9) + (-12) - 1$
  
  $= -9 - 12 - 1 = -22$
• Vậy$B(-3) = -22$.

Bài tập 2: Cho đa thức$C(x) = 5x^2 - 2x + 3$. Hãy tính$C(0)$và $C(1)$.

• $C(0) = 5 \times 0^2 - 2 \times 0 + 3 = 0 - 0 + 3 = 3$
• $C(1) = 5 \times 1^2 - 2 \times 1 + 3 = 5 - 2 + 3 = 6$

8. Bài tập thực hành

1. Cho đa thức$D(x) = 3x^2 - 2x + 4$. Tính$D(-1)$.
2. Cho đa thức$E(x) = -2x^3 + x^2 - 4$. Tính$E(2)$.
3. Cho đa thức$F(x) = 6x - 5$. Tính$F(1)$và $F(-2)$.
4. Cho đa thức$G(x) = x^4 - 2x^2 + 1$. Tính$G(0)$.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn để giá trị của$x$trong ngoặc khi tính lũy thừa, đặc biệt với$x$âm (ví dụ$(-3)^2$).
• Thực hiện lần lượt các phép tính: lũy thừa — nhân — cộng/trừ.
• Chú ý dấu âm ở hệ số và dấu âm ở giá trị $x$.
• Kiểm tra lại các phép tính đặc biệt nếu kết quả quá lớn hoặc quá nhỏ.
• Nếu đa thức có nhiều hạng tử, nên tính và ghi ra từng bước rõ ràng.

Chúc các em luyện tập chăm chỉ và thành công trong việc giải toán đa thức một biến!