Chiến lược giải bài toán xác định các yếu tố của hình hộp chữ nhật lớp 7: Hướng dẫn chi tiết & bài tập luyện tập

1. Giới thiệu về bài toán xác định các yếu tố của hình hộp chữ nhật

Ở chương trình Toán 7, "Xác định các yếu tố của hình hộp chữ nhật" là một dạng bài tập hình học quan trọng. Loại bài này giúp học sinh nhận diện và vận dụng các yếu tố như cạnh, đường chéo, mặt, diện tích, thể tích,... của hình hộp chữ nhật – một hình khối cơ bản xuất hiện nhiều trong học tập lẫn đời sống thực tế. Việc thành thạo giải quyết dạng bài này không chỉ nâng cao kỹ năng tư duy không gian mà còn là nền tảng để học các loại hình phức tạp hơn.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán

Dạng toán này thường yêu cầu học sinh xác định hoặc tính toán một trong các yếu tố sau (khi biết các yếu tố còn lại):

• Cạnh (chiều dài, chiều rộng, chiều cao)
• Các mặt (hình chữ nhật), diện tích từng mặt hoặc diện tích toàn phần
• Thể tích
• Đường chéo hình hộp, đường chéo mặt

Bài toán có thể cho số liệu trực tiếp, hoặc trình bày các dữ kiện liên quan, yêu cầu tư duy suy luận và vận dụng công thức.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Để giải được các bài toán dạng này hiệu quả, bạn hãy áp dụng các bước sau:

1. Xác định yếu tố đề bài yêu cầu (cạnh, mặt, đường chéo, diện tích, thể tích,...)
2. Kẻ hình (nếu được), ký hiệu các cạnh và yếu tố đã biết – các yếu tố cần tìm
3. Tóm tắt dữ kiện, xác định các công thức phù hợp
4. Thay số, giải phương trình hoặc phép toán cần thiết
5. Kiểm tra đáp số và diễn giải bằng lời

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Xem xét bài toán sau:

Ví dụ 1: Cho hình hộp chữ nhật$ABCD.A'B'C'D'$có chiều dài$a = 8 \ \text{cm}$, chiều rộng$b = 5 \ \text{cm}$, chiều cao$h = 4 \ \text{cm}$. Tính:
(a) Thể tích hình hộp
(b) Diện tích toàn phần
(c) Độ dài đường chéo hình hộp

Bước 1: Nhận diện các yếu tố cần tìm và vẽ hình

Vẽ hình hộp chữ nhật với các kích thước được cho. Đặt tên các đỉnh và xác định rõ các cạnh$a$,$b$,$h$. Gạch chân các yếu tố đề bài yêu cầu tìm.

Bước 2: Áp dụng công thức liên quan

- Thể tích: $V = a \times b \times h$
- Diện tích toàn phần: $S_{tp} = 2(ab + ah + bh)$
- Đường chéo hình hộp: $d = \sqrt{a^2 + b^2 + h^2}$

Bước 3: Thay số và tính toán

- (a) Thể tích:
$V = 8 \times 5 \times 4 = 160 \, \text{cm}^3$

- (b) Diện tích toàn phần:
$S_{tp} = 2(8 \times 5 + 8 \times 4 + 5 \times 4) = 2(40+32+20) = 2 \times 92 = 184 \, \text{cm}^2$

- (c) Độ dài đường chéo:
$d = \sqrt{8^2 + 5^2 + 4^2} = \sqrt{64+25+16} = \sqrt{105} \approx 10,25 \, \text{cm}$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Thể tích:$V = a \times b \times h$
• Diện tích toàn phần:$S_{tp} = 2(ab + bh + ah)$
• Diện tích xung quanh:$S_{xq} = 2h(a + b)$
• Đường chéo hình hộp: $d = \sqrt{a^2 + b^2 + h^2}$
• Đường chéo mặt đáy: $d_{đáy} = \sqrt{a^2 + b^2}$
• Nếu thiếu một kích thước, tìm bằng cách biến đổi từ công thức tổng quát.

6. Các biến thể phổ biến và cách điều chỉnh chiến lược

Một số biến thể thường gặp:

• Biết diện tích (hoặc thể tích) và hai cạnh, tìm cạnh còn lại.
• Biết đường chéo (hoặc đường chéo mặt), tìm các cạnh.
• Bài kết hợp với tỉ số giữa các cạnh (chẳng hạn cạnh$a = 2b$).

Cách giải: Áp dụng biến đổi đại số vào công thức tổng quát, giải phương trình tìm cạnh cần thiết, lưu ý đơn vị đo lường.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập: Một hình hộp chữ nhật có diện tích toàn phần là $236\,\text{cm}^2$, chiều dài$a = 10\,\text{cm}$, chiều rộng$b = 6\,\text{cm}$. Tính chiều cao$h$và thể tích hình hộp.

Giải:

Tóm tắt:$S_{tp} = 236 \ \text{cm}^2$,$a = 10 \ \text{cm}$,$b = 6 \ \text{cm}$,$h=?$,$V=?$.

Dùng công thức diện tích toàn phần:

$S_{tp} = 2(ab + ah + bh)$

Thay số:

$236 = 2(10 \times 6 + 10h + 6h)$
$236 = 2(60 + 16h)$
$236 = 120 + 32h$
$32h = 236 - 120 = 116$
$h = \frac{116}{32} = 3,625 \ \text{cm}$

Tính thể tích:

$V = a \times b \times h = 10 \times 6 \times 3,625 = 217,5\ \text{cm}^3$

Vậy chiều cao$h = 3,625\,\text{cm}$, thể tích$V = 217,5\,\text{cm}^3$.

8. Bài tập thực hành

Hãy luyện tập với các bài toán sau:

• Bài 1: Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình hộp chữ nhật có $a = 7\ \text{cm}$,$b = 4\ \text{cm}$,$h = 3\ \text{cm}$.
• Bài 2: Hình hộp chữ nhật có thể tích$V = 240\,\text{cm}^3$, chiều rộng$b = 5\,\text{cm}$, chiều cao$h=6\,\text{cm}$. Tính chiều dài$a$.
• Bài 3: Hình hộp chữ nhật có $a = 9\,\text{cm}$,$d = 14\,\text{cm}$,$h = 12\,\text{cm}$. Tìm chiều rộng$b$biết$d$là đường chéo hộp.

9. Mẹo & lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Chú ý đơn vị đo – khi các cạnh khác đơn vị phải đổi về cùng một đơn vị.
• Ghi nhớ thứ tự các phép nhân trong công thức thể tích, tránh nhầm lẫn.
• Với đường chéo, chú ý xác định đúng vị trí các cạnh, không nhầm đường chéo mặt và đường chéo hình hộp.
• Vẽ hình để tránh sai sót về nhận diện các yếu tố.
• Luôn đọc kỹ đề để xác định yếu tố phải tìm.