Chiến lược giải bài toán xác định cạnh của tam giác lớp 7 – Hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa

1. Giới thiệu bài toán xác định cạnh của tam giác và tầm quan trọng

Bài toán xác định cạnh của tam giác là một trong những chủ đề trọng tâm trong chương trình Toán lớp 7 phần Hình học. Các câu hỏi yêu cầu học sinh xác định chiều dài các cạnh chưa biết của tam giác dựa trên các thông tin như độ dài các cạnh đã cho, số đo các góc hoặc các yếu tố hình học liên quan. Nội dung này không chỉ rèn luyện kỹ năng tư duy lôgic, mà còn giúp chuẩn bị kiến thức nền tảng cho các bài toán hình học phức tạp ở các bậc học trên. Việc nắm vững cách giải bài toán xác định cạnh của tam giác sẽ giúp học sinh tự tin khi làm bài kiểm tra, thi học kỳ và các kỳ thi học sinh giỏi.

2. Đặc điểm của bài toán xác định cạnh của tam giác

Các bài toán dạng này thường có những đặc điểm sau:

• Cho biết độ dài một hoặc hai cạnh, yêu cầu tìm cạnh còn lại.
• Có thể cho thêm các yếu tố khác: số đo góc, quan hệ giữa các đường vẽ (trung tuyến, đường phân giác, đường cao...).
• Có thể yêu cầu kiểm tra tính tồn tại của tam giác với các cạnh đã cho.

Bài toán này phát triển kỹ năng sử dụng các định lý, bất đẳng thức cũng như tư duy miêu tả hình học.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán xác định cạnh của tam giác

• 1. Đọc kỹ đề, xác định các yếu tố đã cho và cần tìm.
• 2. Phân loại tam giác (tam giác thường, vuông, cân, đều...).
• 3. Áp dụng các định lý, công thức cơ bản (bất đẳng thức tam giác, định lý Pytago, các tính chất đặc biệt...).
• 4. Thiết lập phương trình (nếu cần) dựa trên các mối quan hệ đã biết.
• 5. Tính toán, giải phương trình, kiểm tra kết quả đảm bảo đáp ứng điều kiện tồn tại của tam giác.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

- Bước 1: Vẽ hình sơ bộ nếu cần để dễ hình dung các vị trí cạnh, góc.

- Bước 2: Ghi chú các dữ kiện đã cho lên hình.

- Bước 3: Xác định dạng tam giác và phương pháp/định lý phù hợp cho bài toán.

- Bước 4: Thiết lập công thức, phương trình cần giải.

- Bước 5: Giải phương trình, tính toán, đối chiếu với điều kiện tồn tại của tam giác.

Ví dụ 1: Cho tam giác$ABC$có $AB = 6\, \text{cm}$,$AC = 8\, \text{cm}$và $BC = 10\, \text{cm}$. Hỏi tam giác này là tam giác gì? Tìm chiều dài trung tuyến kẻ từ $A$tới$BC$.

• Bước 1: Xác định$AB, AC, BC$có đúng là các cạnh của tam giác không? Kiểm tra bất đẳng thức tam giác:
• Bước 2: Chứng minh có thể tạo thành tam giác:

$<br />AB + AC = 6 + 8 = 14 > 10 = BC<br />$
$<br />AB + BC = 6 + 10 = 16 > 8 = AC<br />$
$<br />AC + BC = 8 + 10 = 18 > 6 = AB<br />$
=> Tạo thành một tam giác.

Bước 3: Xác định loại tam giác. Ta xét bình phương các cạnh:

$<br />AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = BC^2 = 10^2<br />$
⇒ Tam giác$ABC$là tam giác vuông tại$A$.

Bước 4: Tính chiều dài trung tuyến$AM$với$M$là trung điểm$BC$.
Công thức trung tuyến từ đỉnh$A$ đến$BC$:

Công thức:
$<br />AM = \frac{1}{2}\sqrt{2(AB^2 + AC^2) - BC^2}<br /> <br />Thay số:<br />$
AM = \frac{1}{2}\sqrt{2(36 + 64) - 100} = \frac{1}{2}\sqrt{200 - 100} = \frac{1}{2}\sqrt{100} = \frac{1}{2} \times 10 = 5\, \text{cm}
$

Vậy trung tuyến$AM = 5\, \text{cm}$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Bất đẳng thức tam giác: Với tam giác$ABC$bất kỳ, tổng độ dài hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại:
  $a + b > c\quad b + c > a\quad c + a > b$
• Định lý Pytago (tam giác vuông): Nếu$\triangle ABC$vuông tại$A$:
  $BC^2 = AB^2 + AC^2$
• Công thức tính trung tuyến xuất phát từ một đỉnh:
  $ma = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$
  (trong đó $ma$là trung tuyến từ đỉnh đối diện cạnh$a$)

6. Các biến thể của bài toán xác định cạnh của tam giác

• Cho hai cạnh và góc xen giữa, yêu cầu xác định cạnh thứ ba (áp dụng định lý Cos hoặc các tính chất hình học phù hợp).
• Đề bài cho ba cạnh, hỏi có lập thành tam giác không? Kiểm tra bất đẳng thức tam giác.
• Cho độ dài một cạnh và quan hệ với hai cạnh còn lại (ví dụ: cạnh kia dài hơn cạnh kia 2 cm), thiết lập phương trình giải.
• Cho biết một cạnh là trung tuyến, đường cao hoặc đường phân giác, vận dụng các tính chất và công thức liên quan.

Chiến lược phù hợp là xác định rõ dữ kiện đã cho nằm ở nhóm nào để chọn phương pháp giải thích hợp (vẽ hình, lập phương trình, vận dụng định lý, kiểm tra điều kiện tồn tại...).

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết từng bước

Bài tập mẫu 1: Cho tam giác$ABC$có $AB = 7\, \text{cm}, AC = 9\, \text{cm}$và $BC = 12\, \text{cm}$. Hãy kiểm tra có tồn tại tam giác hay không? Nếu có, hãy xác định loại tam giác và tính trung tuyến xuất phát từ đỉnh$B$.

• Bước 1: Kiểm tra điều kiện tồn tại tam giác
• $AB + AC = 7 + 9 = 16 > 12 = BC$
  $AB + BC = 7 + 12 = 19 > 9 = AC$
  $AC + BC = 9 + 12 = 21 > 7 = AB$
  => Các cạnh thoả mãn điều kiện tạo thành tam giác.
• Bước 2: Kiểm tra loại tam giác
  $AB^2 + AC^2 = 49 + 81 = 130 < 144 = BC^2$⇒ Không phải tam giác vuông.
• Bước 3: Tính trung tuyến$BM$, với$M$là trung điểm$AC$:

Áp dụng công thức trung tuyến:
$<br />BM = \frac{1}{2}\sqrt{2AB^2 + 2BC^2 - AC^2}<br /> <br />Thay số:<br />$
BM = \frac{1}{2}\sqrt{2 \times 49 + 2 \times 144 - 81} = \frac{1}{2}\sqrt{98 + 288 - 81} = \frac{1}{2}\sqrt{305} \approx \frac{1}{2} \times 17.464 = 8.73\, \text{cm}
$DEF$vuông tại$E$, biết$DE = 8\, \text{cm}$,$EF = 15\, \text{cm}$. Tính cạnh$DF$.

• Áp dụng định lý Pytago:
  
  $$DF^2 = DE^2 + EF^2$$
  <br>Thay số:<br>
  DF^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289
  ⇒ DF = \sqrt{289} = 17 \, \text{cm}" data-math-type="inline"> undefined