Chiến lược giải quyết bài toán Áp dụng tính chất ba đường phân giác của tam giác lớp 7

1. Giới thiệu về dạng bài toán

Bài toán Áp dụng tính chất ba đường phân giác của tam giác là dạng bài quen thuộc trong chương trình Toán lớp 7, thường xuất hiện trong các đề kiểm tra, đề thi học kỳ lẫn các cuộc thi học sinh giỏi. Dạng bài này giúp rèn luyện tư duy hình học, khả năng lập luận logic, và làm quen với các tính chất quan trọng trong tam giác. Bạn có thể luyện tập cách giải với hơn 42.226+ bài tập miễn phí trên nền tảng học trực tuyến.

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

• Đề bài thường nhắc đến 3 đường phân giác, tâm nội tiếp, hoặc các đoạn thẳng được xác định nhờ phân giác.
• Các từ khóa quan trọng: "phân giác", "tâm nội tiếp", "bán kính đường tròn nội tiếp", "diện tích tam giác liên quan đến phân giác".
• Phân biệt với các bài sử dụng đường trung tuyến, trung trực; bài phân giác thường yêu cầu áp dụng định lý phân giác hoặc đặc điểm tâm nội tiếp.

2.2 Kiến thức cần thiết

• Định lý ba đường phân giác đồng quy tại tâm nội tiếp tam giác.
• Định lý phân giác: "Phân giác một góc của tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề" ($\frac{AB_1}{B_1C} = \frac{AB}{AC}$).
• Mối liên hệ giữa đường phân giác và các yếu tố khác của tam giác (diện tích, chu vi, bán kính đường tròn nội tiếp).

3. Chiến lược giải quyết tổng thể

3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

• Đọc kỹ đề bài để xác định các đường phân giác, điểm giao, các đoạn thẳng cần tính...
• Gạch dưới các dữ liệu đã cho và yêu cầu phải tìm.
• Chú ý: nhiều đề bài có thể cho thêm yếu tố hình vẽ, cần quan sát và suy nghĩ logic.

3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

• Xác định định lý hoặc công thức nào cần sử dụng (định lý phân giác, tính diện tích từ bán kính nội tiếp...)
• Chia nhỏ bài toán thành từng phần: tìm tỉ số, tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh đồng quy...
• Dự đoán kết quả hoặc đặt ẩn nếu cần.

3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

• Áp dụng chính xác định lý phân giác hoặc các công thức liên quan.
• Thực hiện các phép toán cẩn thận, trình bày đầy đủ.
• Kiểm tra lại kết quả cuối cùng bằng cách thay ngược hoặc so sánh với dữ kiện đề cho.

4. Các phương pháp giải chi tiết

4.1 Phương pháp cơ bản

• Vẽ hình chính xác, xác định các đường phân giác và các điểm đặc biệt như tâm nội tiếp.
• Sử dụng định lý phân giác để lập phương trình (thường là tỉ số đoạn thẳng).
• Phương pháp này dễ áp dụng, phù hợp cho bài cơ bản nhưng với bài nâng cao có thể dài dòng.

4.2 Phương pháp nâng cao

• Áp dụng biểu thức toạ độ hóa hoặc gắn ẩn hợp lý để rút gọn tính toán.
• Nhớ một số công thức diện tích tam giác liên quan đến bán kính đường tròn nội tiếp:$S = r imes p$, với$p$là nửa chu vi.
• Vẽ lại hình bằng thước thẳng, compa để kiểm tra trực quan nhanh kết quả.

5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

5.1 Bài tập cơ bản

Cho tam giác$ABC$, phân giác trong góc$A$cắt cạnh$BC$tại điểm$D$. Biết$AB = 6$cm,$AC = 8$cm,$BC = 10$cm. Tính$BD$và $DC$.

Lời giải:

• Áp dụng định lý phân giác trong:$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
• Đặt$BD = 3x$,$DC = 4x \Rightarrow BD + DC = BC = 10 \Rightarrow 3x + 4x = 10 \Rightarrow x = \frac{10}{7}$
• $BD = 3x = \frac{30}{7}$cm,$DC = 4x = \frac{40}{7}$cm.

Mỗi bước đều dựa vào định lý phân giác, đặt ẩn, giải phương trình, và kiểm tra tổng đoạn bằng cạnh đã cho.

5.2 Bài tập nâng cao

Cho tam giác$ABC$có $AB = 13$cm,$AC = 15$cm,$BC = 14$cm. Ba đường phân giác trong cắt nhau tại$I$. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác$ABC$.

Lời giải:

• Tính nửa chu vi$p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{13 + 15 + 14}{2} = 21$cm
• Tính diện tích $S$bằng công thức Heron:$S = \sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)} = \sqrt{21 \times 8 \times 6 \times 7} = \sqrt{7056} = 84$ cm$^2$
• Suy ra bán kính$r = \frac{S}{p} = \frac{84}{21} = 4$cm

Có thể giải theo nhiều cách, nhưng áp dụng công thức bán kính nội tiếp là nhanh nhất, thuận tiện khi biết số đo các cạnh.

6. Các biến thể thường gặp

• Bài toán liên quan đến phân giác ngoài, hoặc hai đường phân giác giao nhau (không nhất thiết là ba).
• Cho tỉ số các cạnh, yêu cầu chứng minh đồng quy, hoặc chứng minh một điểm là tâm nội tiếp.
• Bài toán kết hợp phân giác với đường cao, trung tuyến, đường tròn ngoại tiếp. Hãy linh hoạt vận dụng nhiều tính chất.

7. Lỗi phổ biến và cách tránh

7.1 Lỗi về phương pháp

• Nhầm lẫn định lý phân giác với các định lý khác (trung tuyến, trung trực...)
• Áp dụng sai tỉ số các đoạn thẳng, không xác định đúng đoạn cần tính.
• Cách khắc phục: vẽ hình minh họa kỹ, kiểm tra lại các bước lập luận.

7.2 Lỗi về tính toán

• Tính nhầm giá trị ẩn, hoặc làm tròn số sai.
• Quên cộng tổng các đoạn bằng cạnh, thiếu kiểm tra cuối bài.
• Kiểm tra bằng cách thay ngược đáp số vào đề bài.

8. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể truy cập ngay 42.226+ bài tập cách giải Áp dụng tính chất ba đường phân giác của tam giác miễn phí. Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay, theo dõi tiến trình và cải thiện kỹ năng giải toán hiệu quả!

9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

• Tuần 1: Ôn lại lý thuyết, thuộc lòng định lý, làm được các bài tập nhận biết, chia tỉ số đoạn thẳng.
• Tuần 2: Tập trung bài tập có tính vận dụng và bài tập tính bán kính, diện tích.
• Tuần 3: Làm bài tập nâng cao, các bài tổng hợp có nhiều đường đặc biệt.
• Đặt mục tiêu trong tuần và sau mỗi bài kiểm tra tự đánh giá tiến trình học tập; bổ sung kiến thức còn yếu.