Chiến lược giải quyết bài toán Áp dụng tính chất của giá trị tuyệt đối (Toán 7)

1. Giới thiệu về bài toán áp dụng tính chất của giá trị tuyệt đối

Bài toán về "áp dụng tính chất của giá trị tuyệt đối" là một trong những dạng bài trọng tâm trong chương trình Toán lớp 7. Giá trị tuyệt đối giúp mô tả khoảng cách, đo độ lớn và giải quyết hiệu quả nhiều bài toán thực tiễn cũng như lý thuyết. Việc thành thạo cách giải bài toán áp dụng tính chất của giá trị tuyệt đối sẽ giúp học sinh nâng cao tư duy logic, khả năng biến đổi đại số và ứng dụng trong các chủ đề tiếp theo.

2. Đặc điểm của bài toán áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối

Các bài toán áp dụng giá trị tuyệt đối thường liên quan đến các biểu thức chứa ký hiệu$|x|$,$|a-b|$, so sánh, giải phương trình và bất phương trình có dấu giá trị tuyệt đối. Đặc điểm nổi bật là giá trị tuyệt đối luôn trả về kết quả không âm:$|x| \geq 0$. Bài toán có thể ở dạng tìm giá trị, giải phương trình, bất phương trình, hoặc chứng minh một bất đẳng thức.

3. Chiến lược tổng thể khi giải bài toán giá trị tuyệt đối

Để giải được bài toán dạng này, học sinh cần:
- Nắm vững định nghĩa giá trị tuyệt đối
- Ghi nhớ các tính chất cơ bản và công thức liên quan
- Nhận diện dạng bài (tìm giá trị, giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức, ...)
- Xử lý dấu giá trị tuyệt đối bằng chia trường hợp
- Kiểm tra điều kiện, kết luận hợp lý.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

• Ví dụ 1: Giải phương trình$|x - 3| = 5$.

- Ta áp dụng định nghĩa:$|A| = a \Rightarrow A = a$hoặc$A = -a$($a \geq 0$)

Bước 1. Viết điều kiện:$5 \geq 0$(luôn đúng).
Bước 2. Xét hai trường hợp:

-$x - 3 = 5 \Rightarrow x = 8$
-$x - 3 = -5 \Rightarrow x = -2$

Đáp số:$x = 8$hoặc$x = -2$.

• Ví dụ 2: Giải bất phương trình$|2x - 1| < 3$.

- Ta sử dụng tính chất:
$|A| < k ~(k > 0) \Leftrightarrow -k < A < k$

Vậy:$-3 < 2x - 1 < 3$

Giải ra:$-3 + 1 < 2x < 3 + 1 \Rightarrow -2 < 2x < 4$

Chia hai vế cho$2$:$-1 < x < 2$

Đáp số:$x \in (-1; 2)$.

• Ví dụ 3: Tìm tất cả $x$thỏa$|x| + |x - 1| = 1$.

- Nhận thấy bài toán phối hợp nhiều dấu giá trị tuyệt đối. Cần chia trường hợp dựa vào biểu thức chuyển dấu.

TH1:$x \geq 1$
$\to |x| = x, |x - 1| = x - 1$
$\to x + x - 1 = 1 \implies 2x = 2 \implies x = 1$

TH2:$x < 0$
$\to |x| = -x, |x - 1| = -(x - 1) = -x + 1$
$\to -x + (-x + 1) = 1 \implies -2x + 1 = 1 \implies -2x = 0 \implies x = 0$
(Nhưng$x < 0$nên loại)

TH3:$0 \leq x < 1$
$\to |x| = x, |x - 1| = -(x - 1) = -x + 1$
$\to x + (-x + 1) = 1 \implies 1 = 1$(Đúng với mọi$x$thuộc đoạn$[0, 1)$)

Vậy nghiệm là $x \in [0,1]$: tất cả $x$mà $0 \leq x \leq 1$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

6. Các biến thể của bài toán giá trị tuyệt đối

- Biểu thức giá trị tuyệt đối chứa tham số, nhiều biến
- Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa dấu$| \cdot |$
- Bài toán so sánh, tìm min/max liên quan giá trị tuyệt đối
- Liên hệ hình học (khoảng cách trên trục số:$|a-b|$)

Khi gặp các biến thể này, hãy:
- Xếp các biểu thức thành từng nhóm xử lý
- Chia trường hợp dựa vào điểm chuyển dấu
- Sử dụng kỹ năng biến đổi tương đương và kiểm tra ngược điều kiện

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

• Bài tập 1: Giải phương trình$|2x+1|=3$

-

• Bài tập 2: Giải bất phương trình$|x+5| \geq 2$

-$|x+5| \geq 2 \Leftrightarrow x+5 \leq -2$hoặc$x+5 \geq 2$
-$x \leq -7$hoặc$x \geq -3$

• Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức$A=|x-3|+|x-5|$,$x \in \mathbb{R}$

- Xét$x$thuộc các khoảng:
+ Nếu$x \leq 3$:$A=3-x+5-x=8-2x$, nhỏ dần khi$x$tăng
+ Nếu$3 \leq x \leq 5$:$A=x-3+5-x=2$
+ Nếu$x \geq 5$:$A=x-3+x-5=2x-8$, tăng khi$x$lớn

Vậy giá trị nhỏ nhất là $A=2$tại$x \in [3,5]$

8. Bài tập thực hành

9. Các mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến