Chiến Lược Giải Quyết Bài Toán Đại Lượng Tỉ Lệ Nghịch Lớp 7 – Hướng Dẫn Từ A Đến Z

1. Giới thiệu về bài toán đại lượng tỉ lệ nghịch và tầm quan trọng

Bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch là một trong những chủ đề trọng tâm của chương trình Toán lớp 7. Đây là dạng bài rất gần gũi với thực tế và xuất hiện thường xuyên trong các đề kiểm tra cũng như các kỳ thi cuối kỳ. Hiểu rõ bản chất tỉ lệ nghịch giúp học sinh rèn luyện tư duy lôgic, vận dụng tốt các kiến thức vào giải quyết các tình huống trong đời sống – ví dụ: tính số công nhân cần để hoàn thành một công việc trong một khoảng thời gian cố định.

2. Đặc điểm của bài toán đại lượng tỉ lệ nghịch

Hai đại lượng$x$và $y$gọi là tỉ lệ nghịch với nhau nếu tích$x \cdot y$luôn không đổi (bằng một hằng số $k$khác$0$):

$x \cdot y = k$

Khi một đại lượng tăng thì đại lượng kia giảm tỉ lệ tương ứng, và ngược lại. Đại lượng tỉ lệ nghịch luôn gắn với bài toán dạng: "Muốn làm xong cùng một công việc, nếu tăng số người thì cần ít thời gian hơn".

3. Chiến lược tổng thể giải bài toán tỉ lệ nghịch

• Xác định các đại lượng liên quan và kiểm tra xem chúng có mối quan hệ tỉ lệ nghịch không.
• Thiết lập mối liên hệ bằng công thức$x \cdot y = k$.
• Tính được hằng số $k$dựa trên dữ kiện đầu bài.
• Sử dụng$k$ để tìm giá trị còn thiếu.

4. Các bước giải bài toán đại lượng tỉ lệ nghịch – Ví dụ minh họa

Các bước cơ bản:

1. Xác định hai đại lượng có quan hệ tỉ lệ nghịch.
2. Thiết lập công thức$x \cdot y = k$(x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch; k là hằng số).
3. Thay số cụ thể vào để tìm$k$.
4. Dùng$k$ để tính đại lượng còn lại.

Ví dụ 1: Một đội công nhân cần 6 giờ để hoàn thành một công việc. Nếu tăng số công nhân gấp đôi, hỏi cần mấy giờ để làm xong công việc đó?

Giải:

1. Gọi số công nhân ban đầu là $x_1$, thời gian ban đầu là $y_1=6$(giờ). Số công nhân mới là $x_2=2x_1$, thời gian cần tìm là $y_2$.
2. Theo quan hệ tỉ lệ nghịch:$x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2$.
3. Thay số:$x_1 \cdot 6 = 2x_1 \cdot y_2 \Rightarrow 6 = 2y_2 \Rightarrow y_2 = 3 (giờ)$.

Kết luận: Nếu số công nhân gấp đôi thì thời gian giảm còn 1 nửa.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức tổng quát:$x \cdot y = k$.
• Dạng bài toán nhiều trường hợp:$x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2$.
• Nếu biết$x$tăng (hoặc giảm)$n$lần, thì $y$sẽ giảm (hoặc tăng)$n$lần.
• Kỹ thuật lập bảng: Lập bảng với các giá trị $x$và $y$ để dễ so sánh.

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

• Bài toán có nhiều bước thay đổi: Chia nhỏ bài toán thành từng bước và áp dụng công thức lần lượt.
• Bài toán liên quan đến tổng số lượng làm việc, diện tích hoặc quãng đường: Nhớ xác định tổng công (hoặc tổng sản phẩm) là không đổi.
• Bài toán kết hợp tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch: Đọc kỹ đầu bài, tách từng đại lượng và xét từng quan hệ một cách riêng biệt.

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập mẫu 1: Một bể nước có thể chứa đầy trong 4 giờ nếu dùng 3 máy bơm. Hỏi nếu dùng 6 máy bơm có cùng công suất thì cần bao nhiêu thời gian để bơm đầy bể?

Giải:

1. Gọi số máy ban đầu:$x_1 = 3$, thời gian ban đầu:$y_1 = 4$(giờ). Số máy mới:$x_2 = 6$, thời gian mới:$y_2$.
2. Theo tỉ lệ nghịch:$x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2 \Rightarrow 3 \cdot 4 = 6 \cdot y_2$.
3. $12 = 6y_2 \Rightarrow y_2 = 2$(giờ).

Vậy: Dùng 6 máy bơm, cần 2 giờ để bơm đầy bể nước.

Bài tập mẫu 2: 10 người xây một bức tường trong 9 ngày. Hỏi cần bao nhiêu người để xây bức tường đó trong 6 ngày?

Giải:

1. $x_1 = 10$(người),$y_1 = 9$(ngày);$y_2 = 6$(ngày);$x_2$?
2. $x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2 \Rightarrow 10 \cdot 9 = x_2 \cdot 6 \Rightarrow 90 = 6x_2$.
3. $x_2 = 15$(người).

Cần 15 người để xây xong bức tường trong 6 ngày.

8. Bài tập thực hành

1. Một nhóm học sinh xếp sách, nếu 5 bạn thì mất 12 phút, nếu tăng lên 8 bạn thì mất bao lâu để xếp xong cùng số sách đó?
2. Một xe máy đi với vận tốc 40km/h thì hết 3 giờ để đến nơi. Nếu đi với vận tốc 60km/h thì cần bao lâu?
3. Một công việc, nếu 6 người làm thì mất 15 giờ. Nếu muốn làm xong trong 10 giờ thì cần bao nhiêu người?

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm

• Luôn xác định đúng hai đại lượng có thực sự tỉ lệ nghịch không trước khi áp dụng công thức.
• Thận trọng khi chuyển đổi đơn vị (giờ-phút, km-h). Đồng bộ tất cả dữ kiện về cùng đơn vị trước khi tính.
• Chưa chắc tất cả bài toán về thời gian, người, máy đều là tỉ lệ nghịch - kiểm tra xem tổng công việc, khối lượng có thật sự không đổi không.
• Lập bảng so sánh các trường hợp nếu còn phân vân.
• Kiểm tra lại kết quả: Khi một đại lượng tăng, đại lượng kia có giảm tương ứng không?