Chiến lược giải quyết bài toán Hình lăng trụ tam giác cho học sinh lớp 7

1. Giới thiệu về bài toán hình lăng trụ tam giác

Bài toán về hình lăng trụ tam giác là một phần quan trọng trong chương trình Hình học lớp 7. Kiến thức về lăng trụ tam giác không chỉ giúp học sinh hiểu sâu hơn về hình khối không gian mà còn ứng dụng nhiều trong thực tiễn: tính diện tích mặt ngoài, thể tích các khối hình, mô phỏng hình học trong kiến trúc, kỹ thuật... Hiểu và thành thạo dạng bài này sẽ nâng cao tư duy không gian và kỹ năng giải bài tập hình học của học sinh.

2. Đặc điểm cần lưu ý của bài toán hình lăng trụ tam giác

• Lăng trụ tam giác có hai đáy là hai tam giác bằng nhau, ba mặt bên là ba hình chữ nhật hoặc hình bình hành (nếu nghiêng).
• Lăng trụ tam giác đứng là trường hợp điển hình mà các bài toán lớp 7 thường xét (hay gặp nhất là lăng trụ đứng).
• Các bài toán phổ biến: tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích, xác định các yếu tố liên quan như chiều cao, cạnh đáy...

3. Chiến lược tổng thể để giải quyết bài toán hình lăng trụ tam giác

1. Đọc kỹ đề, xác định rõ các yếu tố đã cho, yêu cầu cần tìm (các kích thước, diện tích, thể tích...).
2. Vẽ hình minh họa (nếu đề không cho sẵn), đánh dấu các yếu tố quan trọng trên hình.
3. Xác định loại lăng trụ: đứng, nghiêng, đều...
4. Áp dụng các công thức tính diện tích đáy, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích tương ứng.
5. Thay số và tính toán cẩn thận, kiểm tra lại phép tính.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ tam giác đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh$a = 4$cm, chiều cao$h = 7$cm. Yêu cầu: tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của lăng trụ.

1. Tính diện tích đáy:
2. Vì đáy là tam giác đều cạnh$a = 4$cm nên diện tích đáy là:
3. $S_{đáy} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4^2 \sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} \text{cm}^2$
4. Tính diện tích xung quanh:
5. Diện tích xung quanh của lăng trụ đứng là tổng diện tích ba hình chữ nhật bên (3 cạnh đáy × chiều cao):
6. $S_{xq} = (a + a + a) \times h = 3 \times 4 \times 7 = 84 \text{cm}^2$
7. Tính diện tích toàn phần:
8. $S_{tp} = S_{xq} + 2S_{đáy} = 84 + 2 \times 4\sqrt{3} = 84 + 8\sqrt{3} \text{cm}^2$
9. Tính thể tích:
10. $V = S_{đáy} \times h = 4\sqrt{3} \times 7 = 28\sqrt{3}\ \text{cm}^3$

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Diện tích đáy hình tam giác: $S_{\Delta} = \frac{1}{2} a h_{đáy}$(hoặc dùng công thức Heron, hoặc công thức tam giác đều:$\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$)
• Diện tích xung quanh:$S_{xq} = (chu vi đáy) \times (chiều cao)$
• Diện tích toàn phần:$S_{tp} = S_{xq} + 2S_{đáy}$
• Thể tích lăng trụ:$V = S_{đáy} \times h$
• Nếu đề cho tam giác đáy không đều: cần xác định chiều cao đáy hoặc dùng Heron để tính diện tích đáy.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Một số biến thể thường gặp:

• Đáy là tam giác vuông, tam giác cân, tam giác không đều → dùng công thức thích hợp tính diện tích đáy.
• Không cho trực tiếp chiều cao lăng trụ → cần dựng hình hoặc vận dụng tam giác vuông để tìm chiều cao.
• Bài toán khó hơn: tìm chiều cao khi đã biết thể tích và diện tích đáy, tìm diện tích một mặt bên...

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập: Cho hình lăng trụ tam giác đứng$ABC.A'B'C'$có đáy$ABC$là tam giác vuông tại$A$,$AB = 3$cm,$AC = 4$cm, chiều cao lăng trụ là $h = 5$cm. Tính:

• Thể tích lăng trụ.
• Diện tích xung quanh lăng trụ.
• Diện tích toàn phần.

Giải

1. Tính diện tích đáy:
2. Đáy là tam giác vuông tại$A$nên diện tích đáy:$S_{đáy} = \frac{1}{2} AB \times AC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \text{cm}^2$
3. Tính thể tích:$V = S_{đáy} \times h = 6 \times 5 = 30\ \text{cm}^3$
4. Tính cạnh $BC$theo định lý Pythagoras:$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\ \text{cm}$
5. Tính chu vi đáy:$C = AB + AC + BC = 3 + 4 + 5 = 12$cm
6. Diện tích xung quanh:$S_{xq} = C \times h = 12 \times 5 = 60\ \text{cm}^2$
7. Diện tích toàn phần:$S_{tp} = S_{xq} + 2S_{đáy} = 60 + 12 = 72 \ \text{cm}^2$

8. Bài tập thực hành tự luyện

1. Cho hình lăng trụ tam giác đứng, đáy là tam giác đều cạnh$6$cm, chiều cao$10$cm. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích.
2. Cho hình lăng trụ tam giác đứng, đáy là tam giác có cạnh$a = 5$cm,$b = 8$cm,$c = 7$cm. Chiều cao lăng trụ là $12$cm. Tính thể tích lăng trụ.
3. Cho hình lăng trụ tam giác đứng có thể tích là $48\sqrt{3}$ cm$^3$, đáy là tam giác đều cạnh $4$ cm. Tìm chiều cao lăng trụ.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm thường gặp

• Vẽ hình cẩn thận, điền đủ kích thước, ký hiệu rõ ràng (vì hình vẽ giúp nhìn ra các yếu tố cần tính).
• Cẩn trọng khi chọn công thức diện tích đáy, đặc biệt với tam giác không đều.
• Luôn kiểm tra kỹ đơn vị (cm, cm$^2$, cm$^3$). Không nhầm đơn vị diện tích, thể tích.
• Nếu bài cho các cạnh, phải xác định đúng loại tam giác đáy trước khi áp dụng công thức.
• Khi tính diện tích toàn phần, nhớ cộng thêm CHÍNH XÁC$2S_{đáy}$.