Đại lượng tỉ lệ thuận: Khái niệm, ví dụ minh họa và hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 7

1. Giới thiệu về đại lượng tỉ lệ thuận và tầm quan trọng trong toán học

Trong chương trình Toán học lớp 7, khái niệm "đại lượng tỉ lệ thuận" là một nội dung quan trọng, nền tảng cho việc học các dạng toán liên quan đến hàm số, xây dựng công thức và giải quyết các bài toán thực tế. Nắm vững đại lượng tỉ lệ thuận sẽ giúp học sinh hiểu sâu về mối liên hệ giữa các đại lượng trong toán và ứng dụng hiệu quả vào các bài toán và kiến thức nâng cao sau này.

2. Định nghĩa đại lượng tỉ lệ thuận

Hai đại lượng x và y gọi là tỉ lệ thuận với nhau nếu tồn tại một số k không đổi sao cho:

$y = kx$

trong đó k (k ≠ 0) gọi là hệ số tỉ lệ. Khi x tăng lên bao nhiêu lần thì y cũng tăng lên bấy nhiêu lần (tương ứng x giảm bao nhiêu lần thì y cũng giảm bấy nhiêu lần).

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Nếu một gói bánh có giá 5.000 đồng, thì số tiền phải trả (y) tỉ lệ thuận với số gói bánh mua (x). Khi bạn mua 2 gói bánh, số tiền là 10.000 đồng; mua 3 gói là 15.000 đồng. Ta có:

$y = 5~000x$

Ở đây,$k = 5~000$là hệ số tỉ lệ. Ta thấy rằng:Nếu mua gấp đôi số gói bánh ($x$tăng gấp đôi), thì số tiền phải trả $y$cũng gấp đôi.

Ví dụ 2: Trong thực tế, vận tốc không đổi thì quãng đường ($s$) đi được tỉ lệ thuận với thời gian ($t$):

$s = vt$

Với$v$là vận tốc, nếu tốc độ không đổi thì thời gian tăng lên bao nhiêu lần thì quãng đường đi được cũng tăng lên bấy nhiêu lần.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu$k = 0$thì $y = 0$, không còn là tỉ lệ thuận.
- Giá trị k có thể dương hoặc âm. Nếu k âm, khi x tăng thì y giảm và ngược lại.
- Chỉ áp dụng khi tỉ lệ có dạng$y = kx$với cùng một k cho mọi x, y đang xét.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Quan hệ tỉ lệ nghịch: Nếu$xy = k$, thì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
- Hàm số bậc nhất:$y = kx$là hàm số bậc nhất qua gốc tọa độ.
- Tỉ số:$\frac{y}{x} = k$, là một số không đổi.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Cho biết y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k = 3. Tính y khi x = 5; x = -4.

Giải:
Ta có $y = kx = 3x$.
- Khi$x = 5$:$y = 3 \times 5 = 15$.
- Khi$x = -4$:$y = 3 imes (-4) = -12$.

Bài 2: Nếu x và y tỉ lệ thuận với nhau và $y = 12$khi$x = 4$, hãy viết công thức liên hệ giữa y và x.

Giải:
Ta có $y = kx$. Thay$x = 4$,$y = 12$vào công thức ta được:
$12 = k \t \times 4 \implies k = 3$.
Vậy công thức$y = 3x$.

Bài 3: Cho bảng sau về mối quan hệ giữa x và y:
| x | 2 | 5 | -3 |
|---|---|---|----|
| y | 6 | 15| -9 |

Yêu cầu: Xét xem y có tỉ lệ thuận với x không? Nếu có, hãy tìm hệ số tỉ lệ.

Giải:
Tính tỉ số $\frac{y}{x}$:
-$\frac{6}{2} = 3$
-$\frac{15}{5} = 3$
-$\frac{-9}{-3} = 3$
Tỉ số đều bằng nhau nên y tỉ lệ thuận với x, hệ số tỉ lệ $k = 3$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhầm lẫn giữa tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch:
+ Tỉ lệ thuận:$y = kx$
+ Tỉ lệ nghịch:$y = \frac{k}{x}$
- Không kiểm tra kỹ hệ số k có không đổi cho tất cả các cặp x, y không.
- Lỗi tính toán khi tìm hệ số tỉ lệ.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Hai đại lượng x và y tỉ lệ thuận khi tồn tại k ≠ 0 sao cho$y = kx$.
- Nếu x tăng (hoặc giảm) bao nhiêu lần thì y cũng tăng (hoặc giảm) bấy nhiêu lần.
- Kiểm tra tỉ lệ thuận bằng cách xem tỉ số $\frac{y}{x}$có không đổi không.
- Vận dụng vào các bài toán thực tế như: tính giá tiền, tính quãng đường đi,...
- Cẩn thận phân biệt với tỉ lệ nghịch.