Đường trung trực – Khái niệm, tính chất và bài tập chi tiết cho học sinh lớp 7

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

“Đường trung trực” là một trong những khái niệm cơ bản và quan trọng của hình học lớp 7. Kiến thức về đường trung trực không chỉ giúp các em giải các dạng bài tập hình học, mà còn ứng dụng linh hoạt trong thực tế, ví dụ như cắt giấy phần đều, xác định vị trí cân bằng, hay thiết kế kiến trúc.

Hiểu rõ đường trung trực giúp học sinh rèn luyện tư duy logic, giải toán chính xác và là nền tảng cho các kiến thức nâng cao về tam giác, đa giác sau này. Với hơn 42.226+ bài tập luyện tập miễn phí, bạn dễ dàng ôn tập và kiểm tra kỹ năng bất cứ lúc nào!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

Định nghĩa: Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó và vuông góc với đoạn thẳng.

Nếu đoạn thẳng$AB$, điểm$M$là trung điểm$AB$, thì đường thẳng$d$ đi qua$M$và vuông góc với$AB$gọi là đường trung trực của$AB$.

• Tính chất: Mọi điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng đều cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
• Ngược lại, điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng.

Điều kiện áp dụng: Áp dụng cho mọi đoạn thẳng trên mặt phẳng. Không áp dụng cho đường cong!

2.2 Công thức và quy tắc

• Công thức trung điểm đoạn thẳng: Nếu$A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$thì trung điểm$M$có tọa độ $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$.
• Phương trình đường trung trực (trên hệ trục tọa độ): Đường thẳng đi qua$M$và vuông góc$AB$.
• Cách ghi nhớ: Nhớ hai yếu tố cơ bản – đi qua trung điểm, vuông góc đoạn thẳng.

Các biến thể: Bài toán xác định đường trung trực của các cạnh tam giác, xác định giao điểm các đường trung trực…

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Bài toán: Cho đoạn thẳng$AB$với$A(2, 3)$,$B(6, 7)$. Xác định phương trình đường trung trực của đoạn thẳng$AB$.

Giải từng bước:

1. Tính tọa độ trung điểm$M$:$M = \left(\frac{2+6}{2}, \frac{3+7}{2}\right) = (4, 5)$
2. Tính vector chỉ phương của$AB$:$\overrightarrow{AB} = (6-2, 7-3) = (4, 4)$. Vector pháp tuyến (vuông góc) là $(4, -4)$hoặc$(1, -1)$.
3. Viết phương trình đường trung trực đi qua$M$và nhận$(1, -1)$làm vector pháp tuyến:$1(x-4) - 1(y-5)=0 \rightarrow x-y+1=0$

Lưu ý: Chỉ cần nhớ công thức trung điểm và cách xác định vector pháp tuyến.

3.2 Ví dụ nâng cao

Cho tam giác$ABC$với ba cạnh, hãy dựng đường trung trực của mỗi cạnh và xác định giao điểm ba đường này.

Áp dụng: Giao điểm ba đường trung trực là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Kỹ thuật nhanh: Vẽ hai đường trung trực, tìm giao điểm, kiểm tra với cạnh còn lại.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Đoạn thẳng trùng với trục tọa độ: Đường trung trực là đường song song với (hoặc vuông góc) trục.
• Đoạn thẳng nằm thẳng đứng hoặc nằm ngang: Đường trung trực sẽ nằm ngang hoặc thẳng đứng.

Liên hệ với: Trung điểm, đường tròn ngoại tiếp, tính chất tam giác cân.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Nhầm đường trung trực với phân giác, trung tuyến.
• Quên điều kiện: đi qua trung điểm và phải vuông góc.

Cách ghi nhớ: So sánh và vẽ minh họa để tránh nhầm lẫn.

5.2 Lỗi về tính toán

• Tính sai trung điểm.
• Nhầm giữa vector chỉ phương và vector pháp tuyến.
• Không kiểm tra lại kết quả bằng cách thay điểm vào phương trình.

Phương pháp kiểm tra: Thay tọa độ các đầu mút vào phương trình xem có thỏa mãn điều kiện cách đều không.

6. Luyện tập miễn phí ngay

• Truy cập 42.226+ bài tập Đường trung trực miễn phí như trắc nghiệm, tự luận, vẽ hình.
• Không cần đăng ký – bắt đầu luyện tập, xem đáp án, giải thích từng bước dễ dàng.
• Tự động theo dõi tiến độ và cải thiện kỹ năng qua mỗi lần luyện tập.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Đường trung trực đi qua trung điểm và vuông góc đoạn thẳng.
• Mọi điểm trên đường trung trực đều cách đều hai đầu đoạn thẳng.
• Đọc kỹ đề bài, xác định trung điểm, vector pháp tuyến trước khi viết phương trình.
• Ghi nhớ công thức trung điểm, xác định vector vuông góc.

Checklist ôn tập: Đọc lý thuyết – Làm ví dụ mẫu – Luyện tập các bài tự chọn – Kiểm tra lỗi thường gặp – Thực hành với hệ trục tọa độ hoặc hình vẽ.