1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Đường trung trực là một khái niệm trọng tâm trong chương trình Toán 7, thuộc chương hình học cơ bản về tam giác và các yếu tố hình học phẳng. Hiểu rõ về đường trung trực không chỉ giúp bạn dễ dàng giải quyết các bài toán trên lớp, mà còn giúp phát triển tư duy logic, nhận biết hình học và kỹ năng suy luận chứng minh. Trong thực tiễn, đường trung trực xuất hiện trong xây dựng, kỹ thuật đo đạc, thiết kế đối xứng,… Bạn hoàn toàn có thể luyện tập Đường trung trực miễn phí với hơn 40.504+ bài tập phong phú, ôn luyện mọi lúc mọi nơi để nắm vững kiến thức này.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa: Đường trung trực của đoạn thẳng$AB$là đường thẳng vuông góc với$AB$tại trung điểm$M$của$AB$.
• Tính chất 1: Điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng$AB$thì cách đều hai điểm$A$và $B$, tức là: nếu$P$nằm trên đường trung trực của$AB$thì $PA = PB$.
• Tính chất 2 (đảo của tính chất 1): Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
• Điều kiện áp dụng: Đường trung trực chỉ áp dụng với đoạn thẳng có xác định hai đầu mút rõ ràng.

2.2 Công thức và quy tắc

• Công thức trung điểm$M$của đoạn$AB$(với$A(x_1, y_1)$và $B(x_2, y_2)$):$M\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}; \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)$
• Hệ số góc của$AB$:$k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$(nếu$x_2<br>e x_1$)
• Hệ số góc của đường trung trực:$k' = -\dfrac{1}{k}$(đối với$k<br> \neq 0$). Nếu$AB$là đường ngang ($y_2 = y_1$), đường trung trực là đường thẳng đứng.
• Phương trình đường trung trực: đi qua trung điểm$M$và vuông góc với$AB$.

Để ghi nhớ tốt, nên vẽ hình minh họa, lặp lại các tính chất và luyện tập nhiều bài tập. Mỗi công thức chỉ áp dụng khi biết đủ thông tin về tọa độ hoặc độ dài các đoạn hoặc điểm.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho đoạn thẳng$AB$có độ dài$8cm$. Dựng đường trung trực của$AB$.

Lời giải từng bước:

• 1. Xác định trung điểm$M$của$AB$(nằm ở vị trí $4cm$từ mỗi đầu mút).
• 2. Dùng thước vuông hoặc eke kẻ một đường thẳng vuông góc tại$M$.
• 3. Đường vừa kẻ là đường trung trực của$AB$.

Lưu ý: Luôn kiểm tra xem điểm nào nằm trên đường trung trực đều cách đều$A$và $B$.

3.2 Ví dụ nâng cao

Trên mặt phẳng tọa độ, cho$A(2,3)$,$B(8,7)$. Tìm phương trình đường trung trực của$AB$.

• Bước 1: Tìm trung điểm$M$:$M\left(\dfrac{2+8}{2}, \dfrac{3+7}{2}\right) = M(5, 5)$
• Bước 2: Tính hệ số góc$k = \dfrac{7-3}{8-2} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$
• Bước 3: Hệ số góc của đường trung trực:$k' = -\dfrac{1}{k} = -\dfrac{3}{2}$
• Bước 4: Phương trình đường trung trực đi qua$M(5, 5)$, hệ số góc$-\dfrac{3}{2}$:
• $y - 5 = -\dfrac{3}{2}(x - 5)$hoặc$2y + 3x - 25 = 15$

Mẹo nhanh: Khi gặp bài toán về đường trung trực, luôn xét tọa độ trung điểm và hệ số góc vuông góc để lập phương trình nhanh, chính xác.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Nếu đoạn thẳng trùng với trục hoành ($y_1 = y_2$), trung trực là đường thẳng đứng song song với trục tung.
• Nếu đoạn thẳng trùng với trục tung ($x_1 = x_2$), trung trực là đường thẳng ngang song song với trục hoành.
• Trong tam giác, ba đường trung trực của ba cạnh đồng quy tại cùng một điểm gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Xử lý ngoại lệ: Luôn kiểm tra điều kiện vuông góc và đảm bảo đi qua trung điểm khi dựng hoặc lập phương trình.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Hiểu nhầm đường trung trực với đường phân giác hoặc trung tuyến.
• Lẫn lộn giữa điều kiện cách đều (đường trung trực) và điều kiện có góc bằng nhau (đường phân giác).
• Phân biệt: Đường trung trực: cách đều hai đầu mút; đường phân giác: chia góc làm đôi.

5.2 Lỗi về tính toán

• Quên tính trung điểm chính xác hoặc nhầm lẫn dấu.
• Tính sai hệ số góc hoặc đặt nhầm phương trình vuông góc.
• Cách kiểm tra: Thay tọa độ vào phương trình, kiểm tra tính cách đều, kiểm tra điều kiện vuông góc bằng tính tích hệ số góc bằng$-1$.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể truy cập 40.504+ bài tập Đường trung trực miễn phí, không cần đăng ký hay mất phí. Hệ thống sẽ giúp bạn theo dõi tiến độ học tập, tăng điểm số và cải thiện kỹ năng giải toán Đường trung trực mỗi ngày.

• Xem đáp án chi tiết và hướng dẫn giải ngay sau mỗi bài.
• Theo dõi điểm số, tiến độ cá nhân và so sánh với các bạn cùng lứa tuổi.
• Bắt đầu học Đường trung trực miễn phí và thành thạo ngay!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Đường trung trực: đường thẳng vuông góc tại trung điểm và cách đều hai đầu mút.
• Quan trọng: Ghi nhớ tính chất cách đều và điều kiện dựng/hình thành phương trình.
• Ôn lại các công thức tính trung điểm, hệ số góc, phương trình đường thẳng.
• Ôn tập bằng sơ đồ tư duy và luyện giải đều đặn.
• Checklist ôn luyện: nhận diện, vẽ hình, lập phương trình, kiểm tra tính cách đều và vuông góc.